Транспониране
Ако A = (aij) Fmxn, транспонираната матрица на А е
At = (aij) Fnxm, където aij = aji за всяко i и j.
Транспонирането е външна операция – тя не е между матрици;
Свойства:
-
(Аt)t = A;
-
(.A)t = .At (за всяко F );
-
(A + B)t = At + Bt ( A, B Fmxn );
-
(A.B)t = Bt.At ( ако съществува A.B );
Проверка на 4 (при m=n):
n
Н
k=1
n
ека A = (aij), B = (bij), C = A.B = (cij); cij = aik . bkj;
C
k=1
t = (cij); cij = cji = ajk . bki;
Bt = (bij); bij = bji;
A
n
n
t = (aij); aij = aji;
D
k=1
k=1
= Bt.At = (dij); dij = bik . akj = ajk . bki = cij за всяко i, j
D = Ct ( A.B )t = Bt.At;
Нека n N; означаваме:
1 0 …… 0
0 1 …… 0
Е = …………… Fnxn;
……………
0 0 …… 1
Тази матрица наричаме единична матрица от ред n.
В съкратен вид: E = (ij)nxn;
За всяко A Fnxn e в сила: A.E = E.A = A;
Ако F; .Е се нарича скаларна матрица;
За всяко A Fnxn e в сила .А = (.Е).А – по този начин операцията умножение на матрица с число може да се реализира като умножение на две матрици от тип Fnxn;
Нека A Fnxn; A e oбратима, ако съществува A-1 Fnxn, такава че
А.А-1 = А-1.А = Е; А-1 наричаме обратна матрица на А;
Необходимо условие за обратимост: А.А-1 = Е det(A.A-1) = det(E) detA.detA-1 = 1 detA 0; матрица, която има детерминанта различна от 0 се нарича неособена; ако съществува А-1, тогава
detA-1 = 1/detA;
Ако А има обратна матрица, то тя е единствена; доказателство:
Нека X Fnxn и X.A = E A-1 = E.A-1 = (X.A).A-1 = X.(A.A-1) = X.E = X
A-1 е единствена;
Ще покажем, че detA 0 е достатъчно условие за обратимост на А;
Н
k=1
n
ека = detA 0; търсим X = (xij) Fnxn, такова че A.X = X.A = E; поелементно aik . xkj = ij за всяко i, j;
Нека фиксираме j (1 j n); при i = 1, 2, …, n получаваме система от n линейни уравнения относно x1j, x2j, …, xnj със детерминанта на матрицата на системата 0; от формули на Крамер системата има единствено решение; за xkj получаваме: xkj = k/, където k е детерминантата, получена от , като сме заменили k-ти стълб със стълба от свободните членове (ij за i = 1, 2, …, n); развиваме k по адюнгираните количества на k-ти стълб и получаваме:
k = 1j.A1k + 2j.A2k …+ jj.Ajk + … + nj.Ank = Ajk; това адюнгирано количество от k e същото като в , тъй като не съдържа елементи от k-ти стълб xkj = Ajk/, k = 1, 2, …, n
За обратната матрица A-1 получаваме:
A11 A21 ……An1
A12 A22 ……An2
A-1 =1/ ………………… Fnxn
…………………
A1n A2n ……Ann
Проверка: А.А-1 = А-1.А = Е;
n
Н
k=1
n
ека C = A.A-1, C = (cij), cij = aik . 1/. Ajk
=
k=1
1/ . aik . Ajk = 1/ . . ij = ij C = E, т.е. A.A-1 = E;
Теорема: Матрицата A Fnxn е обратима тогава и само тогава, когато е неособена (detA 0); в такъв случай обратната матрица
А-1 е единствена и се задава по следния начин:
A11 A21 ……An1
A12 A22 ……An2
A-1 =1/ ………………… Fnxn
…………………
A1n A2n ……Ann
Илюстрация при n=2:
A =
a11 a12
a21 a22
detA = = a11.a22 – a12.a21 0;
A-1 = 1/
A11 A21
A12 A22 , т.е.
A-1 = 1/
a22 -a12
-a21 a11
A, B Fnxn; ако detA 0:
-
(A-1)-1 = A;
-
A, B – неособени A.B обратима; (A.B)-1 = B-1.A-1;
Проверка на 2:
(A.B) . (B-1.A-1) = A. (B.B-1) . A-1 = (A.E).A-1 = A.A-1 = E
B-1.A-1 е обратната матрица на A.B (тя е единствена);
Нека A, B Fnxn, detA 0;
Уравнението А.X = B ( X Fnxn) има единствено решение
X = A-1.B и то се нарича ляво частно на B и A;
доказателство:
A.X = B A-1.A.X = A-1.B E.X = A-1.B X = A-1.B
Уравнението Y.А = B ( Y Fnxn) има единствено решение
Y = B.A-1 и то се нарича дясно частно на B и A;
доказателство:
Y.A = B Y.A.A-1 = B.A-1 Y.E = B.A-1 Y = B.A-1
Нека A Fnxn и k N;
Дефинираме Ak = A . A … A
k пъти
Дефинираме A0 = E
При k, l N0 са валидни:
-
Ak.Al = Ak+l;
-
(Ak)l = Ak .l;
Ако A e неособена, k N;
Дефинираме A-k = (A-1)k = (Ak)-1;
При неособени матрици говорим за Ak за всяко k Z;
равенствата 1. и 2. остават в сила за k, l Z;
Сподели с приятели: |