Нека F е поле; ако m, n N, тогава с Fmxn означаваме всички матрици с n реда и m стълба с елементи от F.
а11 а12 ……а1n
a21 a22 ……a2n
A = (aij)mx n = …………………
…………………
am1 am2 ……amn
Да отбележим, че F1x1 F
Действие 1: Нека F; дефинираме умножение на матрицата A с числото = .А;
.а11 .а12 …….а1n
.a21 .a22 …….a2n
.A = (aij)mx n = ……………………….. .A Fmxn;
………………………..
.am1 .am2 …….amn
Действие 2: Нека B = (bij) Fmxn; дефинираме сума на две матрици А и B = A + B;
а11+b11 а12+b12 …… а1n+b1n
a21+b21 a22+b22 …… a2n+b2n
A + B = (aij + bij)mx n = ………… ……………………….. A + B Fmxn;
…………………………………..
am1+bm1 am2+bm2 ……amn+bmn
Нека О е матрица, О Fmxn;
0 0 …… 0
0 0 …… 0
О = …………… , тази матрица наричаме нулева;
……………
0 0 …… 0
с -А означаваме матрицата (-1).А; т.е. ако А = (аij), то -А = (-аij); при това А, -А Fmxn; матрицата -А наричаме противоположна на А;
Действие 3: Дефинираме разлика А – B на две матрици А, B Fmxn като сбор на матрицата А с противоположната на B; А – B = (aij – bij), A – B Fmxn;
Свойства на действията:
За всеки две матрици A, B Fmxn са изпълнени:
-
A + B = B + A – комутативност;
-
(А + B) + C = A + (B + C) – асоциативност;
-
A + O = A за всяко А Fmxn;
-
А + (-А) = О за всяко А Fmxn;
Свойствата 2, 3, 4 обуславят група; ако допълнително е изпълнено свойство 1, тогава групата е комутативна; понятието група се дефинира върху произволни обекти при условие, че е въведена някаква абстрактна операция събиране, за която са изпълнени за горните четири свойства;
За всеки две матрици A, B Fmxn и произволни и F са изпълнени:
-
1.A = A за всяко А Fmxn;
-
( + ).A = .A + .A;
-
.(A+B) = .A + .B;
-
.(.A) = (.).A;
Свойства 1 – 8 обуславят линейно пространство.
Умножение на матрици
Нека A = (aij) Fmxs, B = (bij) Fsxn; aij, bij F; m, n, s N
Дефиниция: А.B = C = (cij), където cij = ai1.b1j + ai2.b2j + … + ais.bsj; правилото е “ред” по “стълб”; други правила не важат;
А.B = C Fmxn;
Възможно е B.A да не съществува; B.A съществува ако m=n и тогава
А.B Fmxm, B.A Fsxs; в общия случай m не е равно винаги на s и следователно A.B B.A; дори ако m=n=s, т.е. A и B са квадратни, от един и същи тип, умножението не е комутативно;
Операциите събиране и умножение са дефинирани за квадратни матрици и за всеки две матрици A и B Fnxn:
det(A.B) = det(A). det(B) – това следва от дефиницията за умножение на матрици и теоремата за умножение на детерминанти;
Ако А Fnxn съществува А.А, означаваме A2; изобщо Ak, k N, е матрицата А умножена k пъти на себе си;
може да се случи за A, B Fnxn, A, B O, но A.B = O; такива две матрици се наричат делители на нулата;
Свойства, валидни когато умножение и събиране имат смисъл:
-
(A.B).C = A.(B.C) – асоциативност;
-
(A+B).C = A.C + B.C – дясна дистрибутивност;
-
C.(A+B) = C.A + C.B – лява дистрибутивност;
-
(.A).B = .(A.B) за произволно F;
Свойствата 1 – 4, 9 и 10 обуславят пръстен; свойствата 1 – 12 характеризират алгебра;
Проверка на свойство 9:
(A.B).C = A.(B.C); A, B, C Fnxn; A = (aij), B = (bij), C = (cij)
n
Н
k=1
n
n
n
n
ека A.B = D = (dij); dij = aik . bkj;
(
l=1
l=1
k=1
l=1
n
k=1
A.B).C = D.C = G = (gij); gij = dil . clj = ( aik . bkl).clj = aik . bkl. clj
n
Н
l=1
k=1
n
n
l=1
n
l=1
n
k=1
n
ека B.C = P = (pij); pij = bil . clj;
A
l=1
.(B.C) = A.P = Q = (qij); qij = aik . pkj = aik.( bkl . clj) = aik . bkl. clj
gij = qij за всяко i, j { 1, 2, …, n } G = Q свойството е изпълнено
Сподели с приятели: |