6. Линейни пространства.
Нека F е поле, V – множество ( V );
Във V са въведени операциите умножение с число F и събиране, ако: на всяко a V и на всяко F по някакъв начин е съпоставен елемент .a V и на всеки два елемента a, b V по някакъв начин е съпоставен елемент a + b V; V е линейно пространство над полето F, ако:
(a, b, c V; , , F)
-
a + b = b + a;
-
(a + b) + c = a + (b+c);
-
съществува V: a + = a за всяко а V;
-
за всяко а V съществува -а, такъв че a + (-a) = ;
- омикрон – нулев елемент;
-
1.a = a за всяко a V;
-
( + ).a = .a + .a;
-
(a + b)= .a + .b;
-
.(.a) = (.).a;
Елементите на V се наричат вектори, числата от полето F се наричат скалари; V понякога се нарича векторно пространство; - нулев вектор; -а – противоположен вектор на вектора а;
Основни примери за линейни пространства: (F – поле);
Fmxn е линейно пространство относно операциите събиране на матрици и умножение на матрица с число над полето F;
F [x] – множеството на всички полиноми f (x) с коефициенти от
полето F;
Нека n N; тогава Fn+1[x] e множеството на всички полиноми f (x) с коефициенти от F и степени ненадминаващи n; това се прави, тъй като събирането на полиноми може да унищожи степени (включително и старшата);
F [x], Fn+1[x] са линейни пространства над полето F относно операциите събиране на полиноми и умножение на полином с число;
Нека n N; означаваме с Fn множеството на всички наредени
n-торки числа от полето F ( (а1, а2,…, an); ai F за 1 i n );
за a = (а1, а2,…, an) Fn, за b = (b1, b2,…, bn) Fn и за F дефинираме:
.a = (.а1, .а2,…, .an) Fn;
a + b = (а1+b1, а2+b2,…, an+bn) Fn;
F
n броя
n е линейно пространство над полето F относно дефинираните операции; нулев вектор е = (0, 0, …, 0), -a = (-a1, -a2, …, -an);
Следствия от аксиомите:
от аксиома 2 ако a1, a2, …, ak V, a1+a2+…+ak е еднозначно определен вектор V;
-
нулевият вектор е единствен; доказателство: нека V и
a + = a за всяко а V + ’ = , но + = ;
oт аксиома 1 + = + = ;
-
за всяко a V, -a е единствен;
-
за всяко a V e в сила: 0.a = ; доказателство:
a + 0.a = 1.a + 0.a = (1+0).a = 1.a = a; приложили сме аксиоми 5, 6;
a + 0.a + (-a) = a + (-a) 0.a + (a + (-a)) = a + (-a); приложили сме аксиоми 1, 2; 0.a + = 0.a = (oт аксиома 3);
-
. = за всяко F; доказателство: прилагаме аксиома 8 при =0: .(0.) = (.0)., т.е. . = ;
-
(-1).a = -a за всяко a V;
-
Дефинираме разлика на вектора a – b като a + (-b), т.е. разликата на два вектора е първият вектор, събран с противоположния на втория вектор; от аксиоми 7 и 8 и от следствие e) получаваме: .(a – b) = .(a + (-b)) = .a + .(-b)
= .a + .((-1).b) = .a + (.(-1)).b = .a + (-1).(.b) = .a + (-.b) = .a – .b;
-
за всяко a V и всяко F е в сила: .a = = 0 или a = ; доказателство: ако = 0, то от следствие c) равенството е изпълнено; ако 0 1/.(.а) = 1/., от аксиома 8 и следствие d) 1.a = a =
Нека V е линейно пространство над полето F; нека U V ( U )
U е подпространство на V, ако за всеки a, b U и за всяко F
.a U и a + b U, т.е. U е затворено относно двете операции, дефинирани във V;
Означение: U V;
U e подпространство на V, ако за всеки a, b U и , V:
.a + .b U ( това е еквивалентна дефиниция);
Нека U V. Ако а U (-1).a U -a U
a + (-a) U U и аксиомите 1..8 са изпълнени в U
U също е линейно пространство над полето F;
Примери: V V; { } V, където { } е нулевото подпространство – тези две подпространства се наричат тривиални подпространства на V;
Пример за нетривиално подпространство: Fn+1[x] < F[x];
Ако V1 V и V2 V V1 V2 V; доказателство:
Нека a, b V1 V2, , F a, b V1 и .a + .b V1
a, b V2 и .a + .b V2
.a + .b V1 V2 V1 V2 V;
П
i I
о-общо: Ако Vi са подпространства на V, където i I e фамилия от индекси, то Vi V;
B общия случай V1 V2 не е подпространство на V;
V1 V2 V V1 V2 или V2 V1;
Сподели с приятели: |