Забележка: Свойствата от 1 до 8 важат ако навсякъде заменим “ред” със “стълб”; това е в сила поради факта, че транспонираната детерминанта съвпада с оригиналната (detAt = detA)
3. Адюнгирани количества и поддетерминанти.
Цел: Изразяване на детерминанта от ред n чрез детерминанта от ред n-1;
Нека = |aij| ( aij F – поле ). Фиксираме p и q (1 p n, 1 q n). В разглеждаме всички членове, които съдържат apq.
Това са (-1)[ i1, …, q ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... apq ... anin ( ip = q; i1, …, ip-1, ip+1, … in е пермутация на числата 1, …, q-1, q+1, …, n );
от всички тези членове извеждаме apq пред скоба; изразът в скобите се означава с Apq – адюнгирано количество на apq от .
Apq = (-1)[ i1, i2,…, ip-1, q, ip+1, …in ] . а1i1 . a2i2 ... ap-1ip-1 . ap+1ip+1 … anin – сума от
(n-1)! събираеми;
Apq не съдържа елементи от ред p и стълб q на детерминантата .
Пример при n=3:
a11 a12 а13
a21 a22 а23
a31 a32 а33 = (а11.а22.а33 – а11.а23.а32 – а12.а21.а33 + а13.а21.а32 +
a12.а23.а31 – а13.а22.а31)
Нека p=3, q=1; тогава A31 = a12.a23 – a22.a13
apq.Apq изчерпва всички членове от детерминантата , които съдържат apq (по определение) за всяко i (1 i n) имаме:
n
a
k=1
i1.Ai1 + ai2.Ai2 + … + ain.Ain = ; т.е. aikAik =
Аналогично, за всяко j (1 j n) имаме:
n
a
k=1
1j.A1j + a2j.A2j + … + anj.Anj = ; т.е. akjAkj =
Тези изрази наричаме развитие на детерминантата по адюнгираните количества на i-ти ред (j-ти стълб);
Нека разгледаме . Задраскваме ред p и стълб q. Получаваме детерминанта от ред n-1:
а11 а12 …a1q-1 a1q+1….…………а1n
а21 а22 …a2q-1 a2q+1….…………а2n
…………………….…………………
аp-11 аp-12 …ap-1q-1 ap-1q+1…… аp-1n
pq = аp+11 аp+12 …ap+1q-1 ap+1q+1……аp+1n
……………………….………………
an1 an2 …anq-1 anq+1………….…ann
pq се нарича поддетерминанта от ред n-1 на apq от .
Развитието на pq:
pq = (-1)[ i1, i2,…, ip-1, ip+1, …in ] . а1i1 . a2i2 ... ap-1ip-1 . ap+1ip+1 … anin – сумата е по всички пермутации i1, …, ip-1, ip+1, …, in на числата
1, 2, …, q-1, q+1, …n
Пример при n=3;
a11 a12 а13
= a21 a22 а23
a31 a32 а33
Нека p=3, q=1; 31 = a12 а13 = a12.a23 – a22.a13
a22 а23
(забелязваме, че в този случай Apq = pq)
В сила е следната теорема: Apq = (-1)p+q . pq
Доказателство:
Apq и pq се състоят от едни и същи събираеми като се абстрахираме от знаците. Нека a е едно такова събираемо:
a = а1i1 . a2i2 ... ap-1ip-1 . ap+1ip+1 … anin , където i1, …, ip-1, ip+1, …, in е пермутация на числата 1, 2, …, q-1, q+1, …n;
a участва в Apq със знак (-1)[], където = i1, i2,…, ip-1, q, ip+1, …in;
a участва в pq със знак (-1)[], където = i1, i2,…, ip-1, ip+1, …in;
Всяка инверсия в я има и в .
Разглеждаме ; нека k на брой от числата i1, i2,…, ip-1 са по-големи от q (образуват инверсия с q), 0 k p-1; имаме k инверсии на q с числата преди него; от числата i1, i2,…, ip-1 p-1-k на брой са по-малки от q; броят на естествените числа, които са по-малки от q е q-1 измежду числата ip+1, …, in броят на по-малките от q е
( q – 1 ) - ( p – 1 – k ) = q - p + k; точно толкова от тези числа образуват инверсия с q; тогава:
Новите инверсии в в сравнение с са k + q – p + k = q – p + 2.k
[] = [] + q – p + 2.k = [] + p + q + 2. ( k – p)
(-1)[] = (-1)[]+p+q = (-1)[].(-1)p+q
a участва в Apq със знак (-1)[] = (-1)[].(-1)p+q;
a участва в pq със знак (-1)[];
почленно Apq = (-1)p+q . pq
Следствие 1: Избираме i, (1 i n);
В
n
сила е: = (-1)i+1.ai1.i1 + (-1)i+2.ai2.i2 + … + (-1)i+n.ain.in;
т
k=1
.е. (-1)i+k.aik.ik =
Избираме j, (1 j n);
В сила е
(
n
-1)1+j.a1j.1j + (-1)2+j.a2j.2j + … + (-1)n+j.anj.nj = ;
т
k=1
.е. (-1)k+j.akj.kj =
Следствие 2: Нека имаме i, j (1 i n, 1 j n );
, ако i = j
a
0, ако i j
i1.Aj1 + ai2.Aj2 + … + ain.Ajn =
1, ако i = j
0, ако i j
Символ на Кронекер: ij =
Със символа на Кронекер следствие 2 изглежда по следния начин:
n
k=1
aik.Ajk = ij .
n
А
k=1
налогично aki.Akj = ij .
Доказателство: Нека 1 е детерминанта от ред n, получена от като заменим j-тият ред на с i-тия ред на , а останалите си останат същите. Оттук следва, че 1 = 0, тъй като в нея има два съвпадащи реда (ред i и ред j); развиваме 1 по адюнгираните количества на
ред j; тези адюнгирани количества са същите като на елементите от
j-тия ред на , тъй като те не съдържат елементите от ред j, а останалите редове на 1 и съвпадат; т.е тези адюнгирани количества са Aj1, Aj2,…, Ajn; като вземем предвид, че в 1 аjk = aik за всяко k (1 k n) получаваме:
0 = 1 = ai1.Aj1 + ai2.Aj2 + … + ain.Ajn
Сподели с приятели: |