Лекция 3 Свойства на флуидите Свиваемост на флуидите

Свиваемостта е величина, която определя изменението на обема на флуида, когато върху него е приложено външно налягане. Дефинира се като отношение на изменението на плътността към изменение на налягането: Δρ / Δр. Физическата величина, която характеризира свиваемостта е коефициентът на свиваемост:

Често за характеризиране на свиваемостта се използва обратната величина:

а² = , която дефинира скоростта на разпространение на звуковите вълни във флуида (скорост на звука). От представения израз може да се направи заключението, че в среди, които се деформират лесно (голямо Δρ) скоростта на звука е ниска и обратно. Така например във въздуха звукът се разпространява със скорост 340 м/с (силно свиваем флуид), докато във водата тази скорост е над 1500 м/с (слабо свиваем флуид).

Газовете и течностите се различават много по отношение на свиваемостта. Течностите при големи налягания се деформират (намаляват обема) много малко. При газовете неголеми налягания предизвикват големи свивания (намаляване на обема). Поради тази причина течностите в много случаи могат да се разглеждат като несвиваеми флуиди.

2. Вътрешно триене (вискозитет)

Вискозитетът е свойство на флуидите да оказват съпротивление срещу деформацията. Той се проявява във вид на вътрешно триене при относителното преместване на съседните флуидни частици или слоеве. Следователно вискозитетът е характеристика, с която се описва степента на подвижност (деформируемост) на флуидите или свойството им да текат. Колкото по-голяма стойност има вискозитетът, толкова по-трудно се деформира флуидът и толкова по-трудно подвижен е той.

При движение на флуидите около твърди повърхнини скоростта в слоя непосредствено контактуващ със стената е нула (u = 0) вследствие свойството полепваемост. С отдалечаване от повърхността скоростта нараства плавно до достигане на установената за флуидния поток скорост. На фиг. 2 е показан профилът на изменение на скоростта във височина над неподвижната повърхнина u = u(n). Тук n е нормалата към разглежданата повърхност.

Това разпределение на скоростта в напречно направление показва, че има приплъзване между отделните слоеве на течението, обусловено от вътрешното триене и е съпроводено с появата на сили, действащи в равнината на течението. Такива сили и съответните им напрежения (силите отнесени към единица площ) се наричат тангенциални сили (напрежения), тъй като действат в разглежданата равнина (в тангенциално направление).

Логично е да се предположи, че тези сили (напрежения) са пропорционални на изменението на скоростта във вертикално направление. Мярката за това изменение на скоростта е производната du/dn, известна във векторния анализ като градиент на скоростта. Връзката между тангенциалното напрежение и градиента на скоростта се задава със закона (хипотезата) на Нютон:

,

където коефициентът на пропорционалност μ се разглежда като физическа константа и се нарича вискозитет.

По-късно този закон е формулиран в кинетичната теория на газовете като закон за пренос на импулса на молекулите.

От горния израз се вижда, че когато скоростта е нула (u = 0) или скоростта е постоянна (du/dn=0), то тангенциалното напрежение е нула τ = 0. Следователно, тангенциални напрежения се появяват само при движещи се флуиди с неравномерно разпределение на скоростта.

Коефициентът μ се нарича динамичен коефициент на вискозитет. Той не зависи от налягането и характера на течението, а се определя само от физичните свойства на флуида. Измерителната единица за динамичен вискозитет е [N.s/m²] .

Като мярка за вътрешното триене на флуидите се използва и отношението

което се нарича кинематичен вискозитет, тъй като има размерност, включваща само кинематични величини.

Зависимостта на вискозитета от налягането е почти пренебрежима за течностите и за повечето от газовете. Вискозитетът обаче в голяма степен зависи от температурата – при газовете се увеличава, а при течностите намалява с увеличаване на температурата.

Повечето от флуидите срещани в практиката се подчиняват на закона на Нютон. Срещат се и такива, които не се подчиняват на този закон, поради което те се наричат ненютонови флуиди (аномални течности). Такива са суспензиите от твърди частици, глинестите и бетонни разтвори, тежките фракции на нефта, колоидни разтвори и други.

Един вече широко развит раздел на хидродинамиката, основно третиращ проблемите за изясняване на връзката между тангенциалните напрежения и скоростта на деформация на различните видове среди, напоследък се отделя в самостоятелна наука с название реология.

3. Идеален флуид. Много често решаването на хидродинамични задачи с отчитане на вътрешното триене е съпътствано със значителни трудности. В редица други случаи вътрешното триене не играе съществена роля и може да се пренебрегне. Тези именно съображения са наложили въвеждане на понятието идеален флуид, за който се смята, че е лишен от вискозитет, топлопроводност и дифузия и има абсолютна подвижност. Разбира се, в понятието идеален флуид вискозитетът може да се пренебрегне като източник на съпротивление, но не и като фактор, който обуславя предаването на движението от слой на слой и формира по този начин скоростното поле на течението.

Идеални флуиди в природата няма. Те представляват опростен модел на реално съществуващите флуиди. Приемането на флуида за идеален, респективно пренебрегването на съпротивлението от вътрешното триене при движението му, създава редица улеснения в аналитичното изследване на флуидните течения.
4. Структура на потока. Турбулентност

По начина на движение на флуидните частици в реален флуид потока бива ламинарен и турбулентен. При ламинарно или слоесто течение внесени в потока оцветени частици остават през цялото време на движение отделени едни от други (не се извършва смесване на слоевете от потока). При турбулентно течение частиците извършват произволни хаотични движения по бързо променящи се преплетени траектории. Това предизвиква образуването на локални завихряния на флуида наричани ‘турбулентни’, откъдето идва и наименованието на този вид движение на флуида.

От типа на течението зависят параметрите характеризиращи процесите на пренос на количество на движение, топлина и енергия във флуидния поток. Съществуването на два принципно различни режими на движение на флуидите е установено експериментално в края на 19 век при изследване на течението в тръби и канали.

Турбулентното движение на флуиди е съпроводено с интензивно смесване на частиците на флуида. Затова, в случаите, когато трябва да се извърши бързо изравняване на концентрация на разтвор или топлината и енергията да се предаде по-интензивно е необходимо потока да бъде турбулентен.

От многобройни експерименти е установено, че прехода от ламинарен към турбулентен поток се извършва при определени условия, които се определят от безразмерна величина, наречена критерий на Рейнолдс:

,

където u е скоростта на потока, L - характерен размер (диаметър на канал, дължина на обтичана пластина) и ν – кинематичен вискозитет на флуида.

Опитите са показали, че преминаването от ламинарен към турбулентен режим се извършва при определена стойност на критерия на Рейнолдс, която се нарича критическа стойност на критерия на Рейнолдс. За гладка кръгла тръба критическата стойност на критерия на Рейнолдс е 2300. За други типове движение критическата стойност се определя по експериментален път. При стойности по-ниски от критическата стойност, потокът е ламинарен, а при по-високи стойности – турболентен. Разбира се както при много други физически процеси преходът не е рязък, а има определен диапазон в който се трансформира течението. В някои случаи този диапазон е доста голям и в него структурата на потока е неустойчива ту е ламинарен ту преминава в турбулентен режим. Този режим се нарича преходен.
Статика на флуидите

Хидростатично налягане ( неподвижни течности)

Хидростатиката изучава законите за равновесие на флуидите и взаимодействието им с ограждащите ги стени или потопените в тях изцяло или частично твърди тела. Равновесието е механично състояние на относителен покой между отделните флуидни частици. То е възможно, когато разглеждан флуиден обем е неподвижен или се движи спрямо избрана координатна система по начин, при който отделните му съставни частици не изменят положението си една спрямо друга, т.е. когато целият обем се движи като твърдо тяло. При праволинейно движение това е възможно, ако всички флуидни частици се движат с еднаква скорост или ускорение, а при криволинейно движение – с еднаква ъглова скорост, респ. с нормално ускорение. Равновесието на флуидите се определя от силовото взаимодействие и съществува само когато векторната сума от всички външни сили и моменти или сумите от техните проекции по съответните координатни оси са равни на нула.

Във флуидите не могат да действат съсредоточени сили вследствие на свойството им да текат. Възможно е само действието на сили, които са непрекъснато разпределени във флуидния обем или по повърхнината, наречени съответно масови и повърхностни сили.

Масови сили. Приложени са върху всички частици на флуидния обем и са пропорционални на съответните им маси. Това са преди всичко теглото, инерционните сили на възможните преносни ускорителни движения на съда или системата, а също така и различните видове електромагнитни и други сили.

Непрекъснатото разпределение на масовите сили във флуидния обем дава основание да се приеме съществуването на съответни силови полета, чийто интензитет се определя по израза

където ΔF_M е главният вектор на масовата сила, действаща на масата Δm . Всъщност интензитетът на силовото поле (специфична масова сила) може да се интерпретира физически като сила, действаща върху единица маса, разположена в полето, която по абсолютна стойност е равна на съответното ускорение.

Както се вижда, измерителната единица за специфична масова сила е идентична с измерителната единица за ускорение. Ако масовата сила е теглото на флуида G, то специфичната масова сила (интензитет) е земното ускорение:

Тъй като силата е векторна величина, то и специфичната масова сила е вектор и може да се представи чрез своите компоненти по отделните оси на координатната система:

където X,Y и Z са компонентите на специфичната масова сила по осите x,y и z.

Поради малките кохезионни сили, респ. свойството им да текат, флуидите не могат да понасят нормални напрежения на опън. В съответствие със закона на Нютон за триенето при флуидите в равновесие (неподвижни или движещи се без деформация) е невъзможно да съществуват тангенциални напрежения. Следователно вътрешното напрегнато състояние на флуидите в относителен покой се характеризира само с нормални напрежения на натиск и е значително по-просто от това на еластичните тела.

При неравномерно разпределение на силата на натиск от уравнението се определя средната стойност на налягането. В най-общия случай налягането в произволна точка е равно на границата на отношението

когато лицевият елемент Δf клони към нула така, че разглежданата точка да остава винаги в него.

Измерителната единица за налягане е N/m² = Pa. Тази единица за налягане се нарича Паскал и се бележи с Ра. Наред с нея се използват и следните производни единици: килопаскал (кРа = 10³Ра) и мегапаскал (МРа = 10⁶ Ра).

Заедно с тази единица се използват и няколко други:

1 ata = 101325 Pa = 760 mm Hg .

1 ata = 98100 Pa = 736 mm Hg = 10000 mm H₂O.

Проверката на измерителната единица показва, че тази величина е налягане: [m. m/s². kg/m³] = [(kg.m)/s². 1/m²] = [N/m²]

Тъй като земното ускорение и плътността са постоянни величини, налягането е пропорционално на стълба течност:

h = p/ (g ) [m]. (1.8)

Така височината може да се използва като мярка за налягането.

Например 1 техническа атмосфера преобразувана във воден стълб има следната стойност:

[m].
Начини на определяне на налягането. При определяне на налягането, важна роля играе атмосферното налягане (p_о). На фиг.1.1 е показана схема за определяне на различните компоненти на налягането: абсолютно (p), манометрично (p_ман) и вакуметрично налягане (p_вак).

Абсолютното налягането може да се зададе и посредством молекулно-кинетичната теория:

където n е концентрация на молекулите (частиците) – брой частици в единица обем,  - маса на частиците, w - средна скорост на частиците:

В дадена точка на флуидното пространство могат да се построят безброй равнини с различна ориентация. Във всяка от тези равнини действат повърхностни сили (налягания). Ако флуидът е в равновесие, тези налягания ще са само нормални. Съществен е въпросът как се променя налягането за различните повърхнини минаващи през дадена точка.

За определяне на налягането в различните повърхнини (площадки) се разглежда безкрайно малък тетраедър със страни dx, dy, dz. Той има 4 страни: площадка перпендикулярна на ос x, която има площ dS_x = dy.dz; площадка перпендикулярна на ос y, която има площ dS_y=dx.dz; площадка перпендикулярна на ос z, която има площ dS_z=dy.dx и площадка, затваряща тетраедъра с нормала към повърхността n и площ dS_n.

Повърхностните сили зависят от налягането p_x, p_y, p_z и p_n и площта ( dS_x, dS_y …..). Масовите сили се определят от специфичната масова сила F и от обема dV=dx . dy . dz_. Когато безкрайно малките величини dx , dy_, dz се оставят да клонят към нула ( 0), то обемът V клони към нула (V0), по-бързо от S (защото се определя от произведението на три безкрайно малки величини). От математиката е известно, че при преход към нула на даден израз в който има безкрайно малки величини, променливите с по-голям порядък на безкрайно малки величини (по-висока степен) могат да се пренебрегнат. Тъй като повърхностните сили се определят от безкрайно малки величини от втори порядък (dS_x, dS_y ….), а масовите сили от величини от трети порядък те могат да се пренебрегнат. Условието за равновесие на силите действащи на флуида означава, че сумата от проекциите на всички сили върху отделните оси трябва да е нула:

Условия за равновесие:

ΣX = 0 → P_x = P_n . cos (n.x)

ΣY = 0 → P_y = P_n . cos (n.y) (2)

ΣZ = 0 → P_z = P_n . cos (n.z)

Където P_x, P_y, P_z са силите действащи в площадки dS_x, dS_y …, а P_n – сила действаща в площадка dS_n.

Наляганията в различните площадки се определя от изразите:

Площадките в координатните повърхнини dS_x, dS_y , dS_z се явяват проекции на площадката dS_n в съответните координатни равнини:

След заместване в уравненията за равновесие (2) се получава:

От тези равенства се получава окончателно:

p_x = p_y = p_z = p_n (3)

Това равенство може да се тълкува по следния начин: налягането във всички площадки минаващи през дадена точка от флуидното пространство на флуид, намиращ се в равновесие е еднакво. Това налягане се нарича хидростатично налягане.

При флуидите в равновесие поради липсата на тангенциални напрежения в произволна точка на флуидния обем налягането по всички направления остава еднакво и не зависи от ориентирането на лицевия елемент в пространството, по който то действа в дадената точка. То се характеризира само с големината си, която в дадена точка на флуидния обем и във фиксиран момент от време има напълно определена стойност. Следователно налягането може да се разглежда като скаларна величина, която е функция само на координатите и времето, т.е.

p = p(x, y, z, t).

Разгледаното свойство на флуидите в равновесие се отнася и за движение на идеалните флуиди. При движението на реалните флуиди обаче се появяват тангенциални напрежения, в резултат на които налягането в произволна точка не е еднакво и зависи от направлението на лицевия елемент, върху който е приложено.

Диференциалното уравнение на хидростатиката установява зависимостта на налягането в произволна точка във флуидното пространство от характера на действащите във флуида масови и повърхностни сили. За получаване на това уравнение се разглежда равновесието на елементарен флуиден обем с форма на паралелепипед (фиг.4) с дължина на ръбовете dx, dy, dz, Тъй като флуидът е в равновесие (неподвижен) силите действащи този елемент трябва да са в равновесие. Тогава елементът се намира в относителен покой (равновесие) спрямо околното флуидно пространство.

Нека върху единица маса от паралелепипеда да действа масовата сила F (1) с компоненти X, Y, Z. Ако по трите стени,пресичащи се в точка О, действа налягане р (хидростатично налягане), то по съответните противоположни стени на паралелепипеда налягането ще бъде

Тези стойности са в сила, когато изменението на дадена величина е линейно. Тъй като се разглежда безкрайно малък елемент, изменението на физическите величини се приема за линейно в този много малък интервал (физическите параметри не могат да претърпят големи изменения за кратко време).

Равновесието на елемента се записва като се положат нула сумите от компонентите на всички сили по съответните оси.

Например за проекциите на силите по ос x може да се запише:

При по-нататъшното опростяване се получава:

Аналогично за проекциите по другите оси се получава:

Тези уравнения могат да се запишат във вида:

Тъй като масовата сила се представя във векторен вид като: F = X.i + Y.j + Z.k

където i, j, k са единичните вектори по осите x, y, z, а векторната функция grad (градиент) има вида:

,

то горните уравнения могат да се запишат във векторен вид:

В това уравнение F е вектор на специфичната масова сила (1). Ако то се запише като уравнения на съответните компоненти на векторите ще се получат три отделни уравнения, които ще са точно уравнения (5).

Горното уравнение може да се запише в още една форма (посредством потенциала на масовите сили). За целта се извършват следните операции:

1. 
   умножават се уравнения (1) съответно с dx, dy, dz
   
2. 
   събират се левите и десните страни на получените равенства:
   

От математиката е известно, че пълен диференциал на дадена функция се представя като:

Следователно дясната част на (7) е пълен диференциал и лявата част също трябва да е пълен диференциал на някаква функция. Ако се означи тази функция като φ = φ(x,y,z) и функцията е такава, че:

То лявата част може да се запише като пълен диференциал:

dφ = (X.dx + Y.dy + Z.dz)

или уравнението приема вида: