Теорема (за съществуване и единственост)

y (x) = .y₁ (x) + . y₂ (x), ,   също е решение на това уравнение.

Доказателство: За всяко x  I имаме:

= .0 + .0 = 0. И така .y₁ + .y₂ е решение на хомогенното уравнение.

над .
Нека y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) са произволни функции, дефинирани и притежаващи непрекъснати производни до ред (n-1), включително, в интервала I и приемащи комплексни стойности. Дефинираме детерминанта на Вронски за тези функции:

W (x) = .
Теорема: Нека y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) са произволни решения на хомогенното уравнение. Следните три условия са еквивалентни:

1. 
   Функциите y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) са линейно независими в I.
   
2. 
   W (x₀)  0 за някое x₀  I.
   
3. 
   W (x)  0 за всяко x  I.
   

Импликацията 3  2 е очевидна.

Ще покажем, че е в сила 2  1.

Да допуснем, че функциите y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) са линейно зависими в I. Тогава съществува ненулева n-торка от комплексни константи c₁, c₂, …, c_n, такива че за всяко x  I.

Като диференцираме това тъждество n-1 пъти последователно получаваме:

c₁.y₁ (x) + c₂.y₂ (x) + … + c_n.y_n (x) = 0

c₁.y₁ (x) + c₂.y₂ (x) + … + c_n.y_n (x) = 0

…

c₁.y₁^(n-1) (x) + c₂.y₂^(n-1) (x) + … + c₁.y_n^(n-1) (x) = 0

Сега ще покажем, че е в сила 1  3.

Да допуснем противното, т.е. нека съществува x₀  I, такова че

W (x₀) = 0. Тогава горната линейна хомогенна система има ненулево решение c₁, c₂, …, c_n. Да разгледаме функцията

y (x) = . Тя очевидно е решение на хомогенното уравнение, тъй като е линейна комбинация на решения.

Също така, от горните равенства получаваме

y (x₀) = y (x₀) = … = y^(n-1) (x₀) = 0. Така y (x) е решение на задачата на Коши за хомогенното уравнение с начални условия 0, 0, …, 0.

От друга страна, константата 0 очевидно също е решение на тази задача на Коши. Сега от теоремата за единственост получаваме, че y (x) = 0 за всяко x  I и тогава функциите y₁ (x), …, y_n (x) са линейно зависими в I, което е противоречие.

уравнение се нарича фундаментална система решения, ако функциите y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) са линейно независими в I.

Доказателство:

Нека е произволна ненулева детерминанта, където a_ij са комплексни числа. Фиксираме x₀  I.

Нека функциите y_j (x), j = 1, 2, …, n са решения на задачата на Коши с начални условия: y_j^(k-1) (x₀) = a_kj, k = 1, 2, …, n. Такива решения има по теоремата за съществуване. При това детерминантата на Вронски W (x) за тази система решения, изчислена в точката x₀, е точно дадената детерминантата, която е различна от 0. От горната теорема системата { y_j (x)} е линейно независима в I, т.е. y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) образуват фундаментална система решения на хомогенното уравнение. Тъй като числата a_ij могат да се изберат по безброй много начини, съществуват безброй много фундаментални системи решения на хомогенното уравнение.

Доказателство: Нека y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) е фундаментална система решения на хомогенното уравнение. Нека y (x) е произволно решение на хомогенното уравнение. Фиксираме x₀  I.

Разглеждаме следната линейна система от уравнения:

c₁.y₁ (x₀) + c₂.y₂ (x₀) + … + c_n.y_n (x₀) = y (x₀)

c₁.y₁ (x₀) + c₂.y₂ (x₀) + … + c_n.y_n (x₀) = y (x₀)

…

c₁.y₁^(n-1) (x₀) + c₂.y₂^(n-1) (x₀) + … + c₁.y_n^(n-1) (x₀) = y^(n-1) (x₀).

z (x) = , очевидно z (x) е решение на хомогенното уравнение. Горните равенства ни дават, че z (x₀) = y (x₀),

z (x₀) = y (x₀), …, z^(n-1) (x₀) = y^(n-1) (x₀). Така z (x) и y (x) са решения на една и съща задача на Коши и от теоремата за единственост получаваме, че z (x) = y (x) за всяко x  I, т.е. y (x) = за всяко x  I. Така функциите { y_j (x)} пораждат пространството от решенията на хомогенното уравнение и освен това са линейно независими в I  { y_j (x)} е базис на пространството от решенията на хомогенното уравнение  това пространство има размерност n.
Следователно, ако y₁ (x), y₂ (x), …, y_n (x) е фундаментална система решения на хомогенното уравнение, то всички решения се дават с формулата , където c_j са произволни комплексни константи.
Отново разглеждаме нехомогенното уравнение

,

със съответните предположения за a_j (x), f (x).

f (x) с 0. Тогава всички решения на нехомогенното уравнения се дават с формулата y₀ (x) +, където c_j са произволни комплексни константи.

Доказателство: Нека y (x) е произволно решение на нехомогенното уравнение. Да разгледаме функцията z (x) = y (x) – y₀ (x), x  I. Имаме



= f (x) – f (x) = 0.

Така z (x) е решение на хомогенното уравнение  съществуват константи c₁, c₂, …, c_n, такива че z (x) = 

 y (x) = y₀ (x) +. Обратно, очевидно всяка функция от този вид е решение на нехомогенното уравнение.
Сега разглеждаме хомогенното уравнение от n-ти ред с постоянни коефициенти

, където в общия случай a_j са комплексни числа.

Полиномът от n-та степен ⁿ + a₁.^n-1 + …+ a_n-1. + a_n се нарича характеристичен полином на горното уравнение.

Нека ₀ е негов корен. Да разгледаме функцията .

Имаме

Така е решение на уравнението.

Да предположим, че всички тези корени са прости, т.е.

_i  _j при i  j. Тогава функциите образуват фундаментална система решения на уравнението. Действително, вече показхме, че те са решения. Остава да покажем, че са линейно независими в . Образуваме детерминантата на Вронски W (x) за тези решения, W (x) =

=  0, тъй като детерминантата на Вандермонд е равна на 0 тогава и само тогава, когато _i = _j за някои i  j  { 1, 2, …, n}. Така общото решение на хомогенното уравнение с постоянни коефициенти се дава с формулата

C₁. + C₂. + …+ C_n. , където C₁, C₂, …, C_n са произволни комплексни константи.
Сега да разгледаме общият случай, при който е възможно някои от корените на характеристичния полином да са кратни.

Нека ⁿ + a₁.^n-1 + … + a_n-1. + a_n = , т.е.

различните корени на характеристичния полином са ₁, ₂, …, _m и техните кратности са съответно r₁, r₂, …, r_m, r₁ + r₂ + … + r_m = n.
Теорема: Нека P₁ (x), P₂ (x), …, P_k (x) са полиноми, ₁, ₂, …, _k са различни комплексни числа, I   е интервал. Tогава равенството

= 0 за всяко x  I е възможно само тогава, когато P₁ (x) = P₂ (x) = … = P_k (x) = 0 за всяко x  I.

Доказателство: Провеждаме индукция по k.

База: При k = 1 имаме: = 0 и тъй като  0 за всяко

x  , то P₁ (x) = 0 за всяко x  I.

Предположение: Нека твърдението е изпълнено за числото k, k  1.

Стъпка: Нека за всяко x  I имаме равенството

x  I, = 0.

За произволен полином P (x) и   ,   0, имаме:

, където

deg Q (x) = deg P (x), тъй като deg P (x) < deg P (x) и   0.

Диференцираме равенството от по-горе deg P_k+1 (x)+1 пъти.

Ясно е, че получаваме:

deg Q_j (x) = deg P_j (x) за j = 1, 2, …, k, тъй като _j  _k+1.

Използваме индукционното предположение и получаваме, че

Q₁ (x) = Q₂ (x) = … = Q_k (x) = 0 за всяко x  I, но deg Q_j (x) = deg P_j (x) за j = 1, 2, ..., k  P₁ (x) = P₂ (x) = … = P_k (x) = 0 за всяко x  I.

След заместване в първоначалното равенство получаваме = 0 за всяко x  I и тъй като  0 за всяко x  ,

то P_k+1 (x) = 0 за всяко x  I.

Доказателство: Да означим L (y) = ,

P () = ⁿ + a₁.^n-1 + … + a_n-1. + a_n. Вече знаем, че L () = P (). за всяко   . Диференцираме последното равенство по  и получаваме:  .

Използвали сме, че

= L () = . Във втората стъпка използвахме, че коефициентите на уравнението не зависят от , а в третата стъпка използвахме, че е в сила теоремата за смесените производни (независимост от последователността, в която се диференцира). След k диференцирания по  получаваме:

Имаме = 0 за m = 0, 1, …, r₁ – 1, тъй като ₁ е r₁-кратен корен на P (). Така в горното равенство при k = 0, 1, …, r₁ – 1 и

 = ₁ получаваме , т.е. , , …, са решения на уравнението.
И така в случая на кратни корени можем да построим n решения:

за корена ₁ - , , …, ,

за корена ₂ - , , …, ,

…

за корена _m - , , …, .

Да допуснем, че съществуват константи

Тогава от по-предната теорема директно получаваме, че за всяко

j = 1, 2, …, m имаме: = 0 за всяко x  , т.е. всички константи се анулират и така решенията действително са линейно независими. Накрая общото решение на хомогенното уравнение с постоянни коефициенти се записва във вида

, където са произволни комплексни константи.
Сега да предположим, че коефициентите в уравнението са реални числа. Ще покажем, че в този случай можем да изберем фундаментална система решения от реалнозначни функции.

Тъй като коефициентите на характеристичния полином са реални, ако  е корен на характеристичния полином,

то също е негов корен, при това със същата кратност.

Оттук директно получаваме, че за всяко j = 1, 2, …, m ако

Тъй като решенията образуват линейно пространство, то за всеки

j = 1, 2, …, m, k = 0, 1, …, r_j – 1, и , където _j = a_j + i.b_j, са решения на уравнението, но те вече са реалнозначни.

Сега за всеки j = 1, 2, …, m, k = 0, 1, …, r_j – 1 заменяме решенията , с решенията , . (Тук се обхваща и случаят когато _j  , т.е. _j = a_j и b_j = 0 – тогава просто нищо не заменяме). Ясно е, че отново получаваме фундаментална система решения, тъй като получената система решения е линейно еквивалентна на първоначалната фундаментална система и се състои от n на брой решения, колкото е размерността на пространството от решенията. Така общото реално решение на хомогенното линейно уравнение с постоянни реални коефициенти има вида

където ₁, ₂, …, _m са различните корени на характеристичния полином с кратности съответно r₁, r₂, …, r_m, като първите s от тях

₁, ₂, …, _s са реални, а останалите са комплексни и нереални , , i = 1, 2, …, ,

_j = a_j + i.b_j, j = s+1, s+2, …, и , са произволни реални константи.

Нека f (x) е функция, определена в интервала [a, b]. Изследваме уравнението f (x) = 0. Удобно е да запишем това уравнение във вида x =  (x). Това може да стане, например, като добавим x към двете страни на f (x) = 0 или направим друго еквивалентно преобразувание. Така  е корен на уравнението f (x) = 0, т.е.

f () = 0 тогава и само тогава, когато  =  (), т.е.  е неподвижна точка на . Да изберем точка x₀  [a, b] и да построим редицата

x₀, x₁, …, x_n, … по правилото x_n+1 =  (x_n), n = 0, 1, ….

Целта е редицата { x_n} да клони към корена  на уравнението

x =  (x). Ясно е, че построената редица няма такова свойство за произволна функция . Сега ще видим какви условия за  биха гарантирали такава сходимост.