Числово поле – Нека F е множество от произволни числа, т.е. F C и F има поне два елемента, т.е. |F| 2. F е числово поле, ако за всеки a, b F е изпълнено:
-
a + b F
-
a – b F
-
a . b F
-
a / b F, при условие, че b 0
Това поле F е затворено относно четирите основни аритметични операции (събиране, изваждане, умножение, деление)
Примери: Q, R, C са числови полета; Z не е числово поле (условие 4 не е изпълнено за всеки a и b)
Причината F да има поне два елемента е в това, че дефиницията трябва да изключи множеството { 0 } от понятието поле (поради условие 4)
Твърдение: Всяко числово поле F съдържа множеството на рационалните числа Q.
Доказателство: Нека a F;
съгласно условие 2 а – а F, т.е. 0 F, но |F| 2 съществува a F и а 0; съгласно условие 4 а / а F, т.е. 1 F;
1 F 1 + 1 F, т.е. 2 F; за всяко n N, 1 + 1 ....(n пъти).. 1 F, т.е. n F;
0, n F 0 - n F, т.е. - n F за всяко n Z, n F;
Нека r Q, т.е. r = m / n, където m, n Z, n 0, но m, n F m / n F (n 0), т.е. r F за всяко r Q, r F Q F
Нека m, n N;
Матрица с m реда и n стълба или матрица от тип mxn се нарича таблица от числа с m реда и n стълба от някакво числово поле F.
а11 а12 ……а1n
a21 a22 ……a2n
A = ………………… A = (aij) i - ти ред и j - ти стълб
………………… i = 1..m, j = 1..n (aij F)
am1 am2 ……amn
Fmxn – множество от всички матрици с m реда и n стълба с елементи от полето F.
Матрицата А е квадратна, ако: m = n.
В такъв случай елементите а11, а22 ... аnn образуват главния диагонал на матрицата, а елементите a1n, a2n-1, a3n-2 ... an1 образуват втория диагонал.
Цел: На всяка квадратна матрица А Fnxn (n N) да се съпостави по някакъв начин число от самото поле F (число, характеризиращо матрицата) и това число ще го наричаме детерминанта на матрицата А.
n = 2
Решаваме следната система от уравнения
a11.x1 + a12.x2 = b1
a21.x1 + a22.x2 = b2
A = a11 a12
a21 a22 се нарича матрица на системата
(аij, bk) F
Умножаваме първото уравнение с a22, второто с -а12 и ги събираме.
Получаваме:
(а11.а22 – а12.а21) . x1 = b1.a22 – b2.a12
Умножаваме първото уравнение с -a21, второто с а11 и ги събираме.
Получаваме:
(а11.а22 – а12.а21) . x2 = -b1.a21 + b2.a11
Коефициентите пред x1 и x2 са едни и същи;
Числото (а11.а22 – а12.а21) наричаме детерминанта на матрицата А.
Означения: detA, a11 a12
a21 a22
detA = а11.а22 – а12.а21 (произведението на елементите от главния диагонал минус произведението на елементите от втория диагонал)
Нека detA =
Нека b1.a22 – b2.a12 = 1 1 = b1 a12
b2 a22
Нека -b1.a21 + b2.a11 = 2 2 = а11 b1
а21 b2
Това може да се провери чрез дефиницията x1 = 1; x2 = 2
Ако 0, то системата има единствено решение x1 = 1/; x2 = 2/ (прави се проверка в условието)
1 се получава от , като първият стълб се замени със свободните членове.
2 се получава от , като вторият стълб се замени със свободните членове.
n = 3
Решаваме следната система от уравнения
a11.x1 + a12.x2 + а13.x3 = b1
a21.x1 + a22.x2 + a23.x3 = b2
a31.x1 + a32.x2 + a33.x3 = b3
a11 a12 а13
A = a21 a22 а23
а31 а32 а33 се нарича матрица на системата
(аij, bk) F
Умножаваме първото уравнение с a22.a33 – a23.a32, второто с – а12.a33 + a13.a32, третото с a12.a23 – a13.a22 и ги събираме.
Получаваме:
(а11.а22.а33 – а11.а23.а32 – а12.а21.а33 + а13.а21.а32
+ а12.а23.а31 – а13.а22.а31) . x1 = b1.a22.а33 – b1.a23.а32 – b2.a12.a33 + b2.a13.a32 + b3.a12.a23 – b3.a13.a22
Числото (а11.а22.а33 – а11.а23.а32 – а12.а21.а33 + а13.а21.а32 + а12.а23.а31 – а13.а22.а31) наричаме детерминанта на матрицата А.
Нека detA =
Означаваме дясната страна на горното равенство с 1; имаме x1 = 1
Аналогично, получаваме x2 = 2; x3 = 3; където с 2 и 3 сме означили десните страни на равенствата за x2 и x3, които са аналогични на равенството за x1.
Не е трудно да се установи чрез проверка (по дефиниция за детерминанта от трети ред), че i (i=1,2,3) се получава от като заменим i – тият стълб със стълба от свободните членове, т.е.
b1 a12 а13 a11 b1 а13 a11 a12 b1
1 = b2 a22 а23 2 = a21 b2 а23 3 = a21 a22 b2
b3 а32 а33 a31 b3 а33 a31 a32 b3
Ако 0, то системата има единствено решение x1 = 1/; x2 = 2/; x3 = 3/ (прави се проверка в условието)
Правило на Сарус:
Знак “+” Знак “-”
a11 a12 а13 a11 a12 а13
a21 a22 а23 a21 a22 а23
а31 а32 а33 а31 а32 а33
В детерминантата от трети ред със знак “+” участват главният диагонал и двата равнобедрени триъгълника с основи успоредни на главния диагонал; със знак “-“ участват вторият диагонал и двата равнобедрени триъгълника с основи успоредни на втория диагонал.
Предположение за определение за детерминанта от n-ти ред:
а11 а12 ……а1n
a21 a22 ……a2n
A = ………………… Fnxn, F – поле, n N
…………………
an1 an2 ……ann
n = 2
detA е сумата на всички произведения от вида: а1i1a2i2, където i1 и i2 са измежду 1 и 2 и са различни; по отношение за знака – половината събираеми са с “-“, другата половина с “+”
n = 3
detA е сумата на всички произведения от вида: а1i1a2i2a3i3, където i1, i2, i3 {1,2,3} и са две по две различни; по отношение за знака – половината събираеми са с “-“, другата половина с “+”
Груба дефиниция: detA трябва да се дефинира като сума от всевъзможните произведения : а1i1a2i2…anin, където
i1, i2, … in { 1,2, …n } и са две по две различни; половината събираеми са с “-“, другата половина с “+”
Нека n N
Пермутация на числата 1, 2, …n са тези числа написани в някакъв ред i1, i2,…in; броят на пермутациите е равен на n!
Нека е дадена пермутация = i1…ik…il…in
Казваме, че ik и il образуват инверсия, ако k < l и ik > il
Броят на всички инверсии в се означава [] = [i1,i2,…,in]
e четна (нечетна), ако [] е четно (нечетно).
Пермутацията = 1, 2…, n се нарича главна пермутация. []=0 в този случай.
Пермутацията = n, n-1, …1 има n(n-1)/2 инверсии.
Нека е дадена пермутация = i1…ik…il…in; образуваме нова пермутация , като разменим местата на ik и il ( = i1…il…ik…in).
Тогава казваме, че е извършена транспозиция (ik <-> il).
Лема: Всяка транспозиция променя четността на дадена пермутация.
Доказателство:
Нека е дадена пермутация = …i…j…; извършваме транспозицията
(i <-> j); получаваме = …j…i…
Нека разгледаме частния случай, когато i и j са съседни,
т.е. = …ij…; = …ji…
Очевидно [] = [] + 1 при i < j и [] = [] - 1 при i > j, защото позицията на i и j спрямо останалите елементи не се променя [] и [] са с различна четност транспозицията на съседни елементи променя четността на пермутацията
В общия случай: i и j са произволно разположени
= …ik1k2…kt j…
= …jk1k2…kt i…
Можем да считаме, че t 1, тъй като случаят t = 0 е разгледан.
Върху извършваме последователно транспозициите: i <-> k1,
i <-> k2,… i <-> kt; получаваме = …k1k2…kt ij…; при това четността на е променена t пъти.
След това извършваме транспозицията : i <-> j и получаваме
= …k1k2…kt ji…; при това четността на е променена 1 път.
Накрая извършваме последователно транспозициите
j <-> kt, j <-> kt-1, …j <-> k1; получаваме
= …jk1k2…kt i…= ; при това четността на е променена t пъти
При преобразуването на в четността е променена общо 2t +1 пъти, но 2t +1 – нечетно и имат различна четност
Следствие: При n 2 броят на четните пермутации е равен на броя на нечетните пермутации (= n!/2); при n = 1 не може да се говори за инверсии
Доказателство:
Означаваме с r и s броят съответно на четните и нечетните пермутации.
Върху всяка четна пермутация извършваме една фиксирана транспозиция (например 1 <-> 2). Получаваме като резултат r различни нечетни пермутации s r (1)
Върху всяка нечетна пермутация извършваме една фиксирана транспозиция (например 1 <-> 2). Получаваме като резултат s различни четни пермутации r s (2)
От (1) и (2) r = s, т.е. броят на четните пермутации е равен на броя на нечетните пермутации
Разглеждаме детерминантата от втори ред:
a11 a12
a21 a22 = а11.а22 – а12.а21
В отделните събираеми сме сортирали елементите аij по i (на първо място стои а1i1, a на второ място – a2i2);
Разглеждаме пермутацията i1, i2 и забелязваме, че когато тя е четна събираемото е със знак “+”, а когато е нечетна – със знак “–”
1 2 e четна (има 0 инверсии) – а11.а22 е със знак “+”
2 1 e нечетна (има 1 инверсия) – а12.а21 е със знак “–”
Разглеждаме детерминантата от трети ред:
a11 a12 а13
a21 a22 а23
a31 a32 а33 = (а11.а22.а33 – а11.а23.а32 – а12.а21.а33 + а13.а21.а32 +
a12.а23.а31 – а13.а22.а31)
В отделните събираеми сме сортирали елементите аij по i (на първо място стои а1i1, на второ място – a2i2, на трето място – a3i3);
Разглеждаме пермутацията i1, i2, i3 и забелязваме отново, че когато тя е четна събираемото е със знак “+”, а когато е нечетна – със знак “-“
1 2 3 e четна (има 0 инверсии) - а11.а22.а33 е със знак “+”
1 3 2 е нечетна (има 1 инверсия) - а11.а23.а32 е със знак ”–“
2 1 3 е нечетна (има 1 инверсия) - а12.а21.а33 е със знак “–”
2 3 1 е четна (има 2 инверсии) - а12.а23.а31 е със знак “+”
3 1 2 е четна (има 2 инверсии) - а13.а21.а32 е със знак “+”
3 2 1 е нечетна (има 3 инверсии) - а13.а22.а31 е със знак “–”
Заключаваме, че ако в отделните събираеми на детерминантата
от n-ти ред сме сортирали елементите аij по i (на първо място стои а1i1, на второ място – a2i2, ... на n-то място - anin), тогава знакът пред събираемото е “+”, ако пермутацията i1, i2, …in е четна и “–“, ако тя е нечетна; т.е. знакът пред а1i1a2i2... anin е (-1)[ i1, i2,…in ]
Сподели с приятели: |