к-тият ред на матрицата с числото F; означаваме детерминантата на тази матрица с = .
а11 а12 ……… а1n
a21 a22 ……...a2n
= …………………. …
ak1 ak2 ……akn
……………………..
an1 an2 ……. …ann
Доказателство: = (-1)[ i1, i2,… ik ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akik ... anin =
. (-1)[ i1, i2,… ik ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akik ... anin = .
Свойство 4: Ако за някои k и l, k l - ak1 = al1, ak2 = al2, …, akn = aln, то = 0
Доказателство: Без ограничение на общността можем да смятаме, че k < l;
кой да е член p от изглежда така:
p = (-1)[ i1, i2,… ik ,… il ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akik ... alil ... anin
друг член q в развитието на , получен след извършване на транспоцизия il<->ik изглежда така:
q = (-1)[ i1, i2,… il,… ik ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akil ... alik ... anin
Тъй като akik = alik и akil = alil |p|=|q|
Oсвен това:
Нека = i1, i2,… ik ,… il ,…in и = i1, i2,… il ,… ik ,…in ; е получената от с една транспозиция и са с различни четности
(-1)[ i1, i2,… ik ,… il ,…in ] = - (-1)[ i1, i2,… il,… ik ,…in ] p = - q p + q = 0;
тъй като транспозицията е фиксирана на всяка четна пермутация се съпоставя точно една нечетна и обратно, но те са по равен брой и две по две се унищожават = 0
Свойство 5: Ако за някои k и l, k l, F - ak1 = al1, ak2 = al2, …, akn = aln, то = 0
Доказателство: На кратко - комбиниране на свойство 3 със свойство 4
Свойство 6: Ако за някои k и l, k l, F променим k-ти ред по следния начин - ak1 = ak1 + al1, ak2 = ak2 + al2, …, akn = akn + aln,
то не се изменя
Доказателство: На кратко - комбиниране на свойство 2 със свойство 5
Свойство 7: Ако за някои k и l, k l, разменим местата на k-ти ред и l-ти ред детерминантата си сменя знака.
а11 а12 …а1n
………………
ред k a l1 a l2 …a ln
……………... = -
ред l ak1 ak2 …akn
………………
an1 an2 …ann
Означаваме горната детерминанта с
В към ред k прибавяме ред l (използваме свойство 6 с = 1)
Получаваме:
а11 а12 ……………….…а1n
………………………………
ред k аk1+a l1 ak2+al2 .…akn+a ln
= ……………………………...
ред l ak1 ak2 …………………akn
……………………………...
an1 an2 …………………ann
От ред l изваждаме ред k (използваме свойство 6 с = -1)
Получаваме:
а11 а12 …………….….…а1n
…………………….…………
ред k аk1+a l1 ak2+al2 ..…akn+a ln
= ….…………………………...
ред l -al1 -al2 …………………-aln
……………………….……...
an1 an2 ……………….…ann
Kъм ред k прибавяме ред l (използваме свойство 6 с = 1)
Получаваме:
а11 а12 …а1n….
……………..…
ред k a k1 a k2 …a kn
= ……………….. = - (по свойство 3)
ред l -al1 -al2 .…-aln
……………..…
an1 an2 …..ann
Свойство 8: Нека 2, 3,..., n F и
a11 = 2.a21 + 3.a31 + …+ n.an1
a12 = 2.a22 + 3.a32 + …+ n.an2
……
a1n = 2.a2n + 3.a3n + …+ n.ann
В такъв случай казваме, че първият ред е линейна комбинация на останалите. (първият е взет за определеност, свойството важи за кой да е ред) Тогава = 0.
Доказателство: Прилагаме свойство 6: прибавяме към първи ред втория умножен с -2; прибавяме към първи ред третия умножен с
-3 и т.н. Накрая на първия ред остават само нули и от свойство 1
= 0
Сподели с приятели: |