1) Правите и се пресичат в единствена точка, , .
2) Правите и са успоредни но не се сливат, , .
3) Правите и се сливат, .
Тези разположения можем да установим, разглеждайки уравненията на двете прави като система от две линейни уравнения с две неизвестни
с основна и разширена матрици
и .
По условие за ранговете на тези матрици винаги е изпълнено .
Първият случай е налице, когато системата е съвместима и определена – има единствено решение , което задава координатите на единствената пресечна точка . Според теоремата на Кронекер-Капели, това означава, че , което е еквивалентно на .
Вторият случай е налице, когато системата не е съвместима – няма решение. Според теоремата на Кронекер-Капели, това означава, че , което е възможно, само когато и .
Третият случай е налице, когато системата е съвместима и неопределена – има безбройно много решения. Според теоремата на Кронекер-Капели, това означава, че , което е еквивалентно на . В този случай става дума за една и съща права, представена (евентуално) чрез две различни уравнения, едното от които се получава от другото след умножение с някакво различно от нула число.
Пример 6.4. Правите
и
са успоредни, понеже
и .
Ъгъл между две прави. Под ъгъл между двете прави и се разбира ъгълът между кои да е техни направляващи вектори. По този начин се явява ъгълът между техните нормални вектори и , следователно за ъгъла между правите и получаваме формулата
.
Това определение дава два ъгъла, които се допълват до . Когато , единият от тях е остър, а другият е тъп. Ако правите не са перпендикулярни, то за острия ъгъл между тях имаме
, .
Пример 6.5. Правите
и
са перпендикулярни, понеже
.
Ъгълът между две прави може да бъде намерен и с помощта на техните ъглови коефициенти (рис. 6.5). Нека са дадени правите и , които сключват с координатната ос съответно ъгли и и освен това сключват помежду си различен от прав ъгъл . Тогава
,
откъдето за ъгъла между правите получаваме формулата
,
където и са ъгловите коефициенти на и .
Рис. 6.6.
За да получим формула за острия ъгъл между правите, трябва да приложим последната формула по абсолютна стойност,
.
От тук се вижда, че ако , то правите са успоредни, и ако , то правите са перпендикулярни.
Разстояние между точка и права. Да разгледаме правата , зададена чрез своето общо уравнение
и някаква точка от равнината (рис. 6.6).
Рис. 6.6.
Тогава векторът е нормален към правата, а векторът
е единичен нормален вектор към . Нека е ортогоналната проекция на точката върху . Търсим разстоянието между правата и точката . Очевидно . Векторът е успореден на , следователно , за някое число , а за търсеното разстояние получаваме
.
От друга страна , откъдето за координатите на точката , които са същевременно и координати на нейния радиус вектор намираме
.
Числото ще определим от условието, че точката лежи върху правата , което означава, че нейните координати удовлетворяват уравнението,
.
След преобразуване на последния израз получаваме
,
откъдето за търсеното разстояние намираме формулата
.
Пример__6.6.'>Пример 6.6. За разстоянието между правата и точката пресмятаме
.
2. Уравнения на равнина в пространството. Предполагаме зададена правоъгълна положително ориентирана координатна система с ортонормирани базисни вектори , , , с помощта на която ще представяме векторите и точките посредством техните координати.
Да разгледаме равнината , съдържаща точката и успоредна на двата неколинеарни вектора и (рис. 6.7).
Рис. 6.7.
Тези данни определят по единствен начин равнината , за която ще потърсим координатно уравнение. Нека и са радиус векторите на дадената точка и текущата точка . Равнината се състои от точките , за които векторите , и са компланарни (лежат равнината ), което означава, че тяхното смесено произведение е равно на нула. По този начин за равнината получихме представянето , което обосновава следното координатно уравнение за
(6.3) .
Ако означим с , и адюнгираните количества на първия ред на тази детерминанта, то уравнението (6.3) приема вида
(6.4) .
Сега като положим , получаваме
,
което се нарича общо уравнение на равнина в пространството. В това общо уравнение поне един от коефициентите , или е различен от нула, понеже тези адюнгирани количества представляват координатите на векторното произведение
,
което е различно от нулевия вектор, понеже по условие векторите и са линейно независими. Това условие ще предполагаме налице, винаги когато разглеждаме общо уравнение на равнина в пространството.
Пример 6.7. Да намерим общото уравнение на равнината , която съдържа точката и успоредна на векторите и . Съгласно (6.3) това уравнение има вида
,
откъдето намираме
.
Теорема 6.2. Нека , , и са числа такива, че (поне едно между , и е различно от нула). Тогава съвкупността от точки в пространството, чиито координати удовлетворяват равенството
(6.5) ,
образуват някаква равнина .
Доказателство. Ако разгледаме (6.5) като система от едно уравнение с три неизвестни, то тази система съгласно теоремата на Кронекер-Капели е съвместима и определена, следователно има безбройно много решения. По условие или или . За определеност да предположим, че (другите случаи се разглеждат аналогично), при което за простота можем да предположим . Тогава съгласно общата теорема за структурата на решенията на линейна система, решенията на (6.3) се записват във вида
(6.6) ,
където и са произволни коефициенти. Да положим
, и .
Тогава векторите , , , които се получават от (6.6) съответно при , и , и са решения на системата (6.5), при което очевидно и са линейно независими, понеже за техния ранг е изпълнено
.
Нека , и . Координатите на тези вектори удовлетворяват уравнението (6.6). Да разгледаме точките , и . Тези три точки сигурно не лежат върху една права, понеже векторите и са линейно независими. Следователно , и определят по единствен начин някаква равнина (рис. 6.8).
Рис. 6.8.
Остава да докажем, че всяка точка , чиито координати удовлетворяват уравнението (6.5), лежи в същата равнина . По условие имаме
Ако извадим почленно първото равенство от другите три получаваме
.
Последното може да се разглежда като хомогенна система от три уравнения с три неизвестни , и , която по условие има ненулево решение. Съгласно общите свойства на хомогенните системи, последното е възможно единствено когато нейната детерминанта е равна на нула,
,
което означава, че между редовете на детерминантата има линейна зависимост. От друга страна тези редове са точно координатите на векторите , и , което показва, че те са линейно зависими и следователно векторът лежи в равнината . ■
Един ненулев вектор се нарича нормален към равнината , когато е перпендикулярен на , . Според това определение, векторът е нормален към когато е ортогонален на всеки вектор от равнината .
Сподели с приятели: |