Лекция 6 уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината

Тези разположения можем да установим, разглеждайки уравненията на двете прави като система от две линейни уравнения с две неизвестни

с основна и разширена матрици

По условие за ранговете на тези матрици винаги е изпълнено .

Първият случай е налице, когато системата е съвместима и определена – има единствено решение , което задава координатите на единствената пресечна точка . Според теоремата на Кронекер-Капели, това означава, че , което е еквивалентно на .

Вторият случай е налице, когато системата не е съвместима – няма решение. Според теоремата на Кронекер-Капели, това означава, че , което е възможно, само когато и .

Третият случай е налице, когато системата е съвместима и неопределена – има безбройно много решения. Според теоремата на Кронекер-Капели, това означава, че , което е еквивалентно на . В този случай става дума за една и съща права, представена (евентуално) чрез две различни уравнения, едното от които се получава от другото след умножение с някакво различно от нула число.

Пример 6.4. Правите

и

са успоредни, понеже

Това определение дава два ъгъла, които се допълват до . Когато , единият от тях е остър, а другият е тъп. Ако правите не са перпендикулярни, то за острия ъгъл между тях имаме

са перпендикулярни, понеже

Ъгълът между две прави може да бъде намерен и с помощта на техните ъглови коефициенти (рис. 6.5). Нека са дадени правите и , които сключват с координатната ос съответно ъгли и и освен това сключват помежду си различен от прав ъгъл . Тогава

откъдето за ъгъла между правите получаваме формулата

където и са ъгловите коефициенти на и .

Рис. 6.6.

За да получим формула за острия ъгъл между правите, трябва да приложим последната формула по абсолютна стойност,

.

От тук се вижда, че ако , то правите са успоредни, и ако , то правите са перпендикулярни.

и някаква точка от равнината (рис. 6.6).

Рис. 6.6.

Тогава векторът е нормален към правата, а векторът

е единичен нормален вектор към . Нека е ортогоналната проекция на точката върху . Търсим разстоянието между правата и точката . Очевидно . Векторът е успореден на , следователно , за някое число , а за търсеното разстояние получаваме

От друга страна , откъдето за координатите на точката , които са същевременно и координати на нейния радиус вектор намираме

Числото ще определим от условието, че точката лежи върху правата , което означава, че нейните координати удовлетворяват уравнението,

След преобразуване на последния израз получаваме

откъдето за търсеното разстояние намираме формулата

Да разгледаме равнината , съдържаща точката и успоредна на двата неколинеарни вектора и (рис. 6.7).

Рис. 6.7.

Тези данни определят по единствен начин равнината , за която ще потърсим координатно уравнение. Нека и са радиус векторите на дадената точка и текущата точка . Равнината се състои от точките , за които векторите , и са компланарни (лежат равнината ), което означава, че тяхното смесено произведение е равно на нула. По този начин за равнината получихме представянето , което обосновава следното координатно уравнение за

(6.3) .

Ако означим с , и адюнгираните количества на първия ред на тази детерминанта, то уравнението (6.3) приема вида

(6.4) .

Сега като положим , получаваме

,

което се нарича общо уравнение на равнина в пространството. В това общо уравнение поне един от коефициентите , или е различен от нула, понеже тези адюнгирани количества представляват координатите на векторното произведение

което е различно от нулевия вектор, понеже по условие векторите и са линейно независими. Това условие ще предполагаме налице, винаги когато разглеждаме общо уравнение на равнина в пространството.

откъдето намираме

(6.5) ,

образуват някаква равнина .

Доказателство. Ако разгледаме (6.5) като система от едно уравнение с три неизвестни, то тази система съгласно теоремата на Кронекер-Капели е съвместима и определена, следователно има безбройно много решения. По условие или или . За определеност да предположим, че (другите случаи се разглеждат аналогично), при което за простота можем да предположим . Тогава съгласно общата теорема за структурата на решенията на линейна система, решенията на (6.3) се записват във вида

(6.6) ,

където и са произволни коефициенти. Да положим

, и .

Тогава векторите , , , които се получават от (6.6) съответно при , и , и са решения на системата (6.5), при което очевидно и са линейно независими, понеже за техния ранг е изпълнено

Нека , и . Координатите на тези вектори удовлетворяват уравнението (6.6). Да разгледаме точките , и . Тези три точки сигурно не лежат върху една права, понеже векторите и са линейно независими. Следователно , и определят по единствен начин някаква равнина (рис. 6.8).

Рис. 6.8.

Остава да докажем, че всяка точка , чиито координати удовлетворяват уравнението (6.5), лежи в същата равнина . По условие имаме

Ако извадим почленно първото равенство от другите три получаваме

Последното може да се разглежда като хомогенна система от три уравнения с три неизвестни , и , която по условие има ненулево решение. Съгласно общите свойства на хомогенните системи, последното е възможно единствено когато нейната детерминанта е равна на нула,

което означава, че между редовете на детерминантата има линейна зависимост. От друга страна тези редове са точно координатите на векторите , и , което показва, че те са линейно зависими и следователно векторът лежи в равнината . ■