Основни тригонометрични тъждества І. Тригонометрични функции на сбор и разлика на два ъгъла Функции на сбор на два ъгъла

Изтегляне 87.73 Kb.

Дата	14.01.2017
Размер	87.73 Kb.
	#12544
Тип	Задача

ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТЪЖДЕСТВА
І. Тригонометрични функции на сбор и разлика на два ъгъла

1. Функции на сбор на два ъгъла

Ако α и β са произволни обобщени ъгли, техният сбор е ъгъл (α + β). Тригонометричните функции на този ъгъл могат да се изразят чрез тригонометричните функции на α и β като се използват следните тъждества (формули):

(1)

(2)

(3)

(4)
Задача1. Намерете:
а)

Решение: Ъгъл 75^° може да се представи като (45^° +30^°). Тогава:

По аналогичен начин с помощта на формули (2), (3) и (4) се намират останалите функции на ъгъл 75^°.
б) sin 240^°; в) cos 210^°; г) tg 105^°; д) cotg 315^°.
Упътване: Представете всеки от ъглите като сбор на два ъгъла с известни стойности на тригонометричните функции.

Задача 2. Пресметнете:
а)

б)

;

в) г)

д)
Упътване: Общата идея на примерите е преобразуване на изразите, заменяйки ги с техните тъждествено равни, съгласно формулите (1) – (4). В резултат се стига до тригонометрична функция на някой от често използваните ъгли в интервала [0^°;360^°].
Например:
Задача 3. Опростете изразите:
а) б)
в) г)
Упътване: При преобразуването на тригонометрични изрази, освен познатите тригонометрични тъждества, остават в сила известните правила за тъждествени преобразувания при рационалните изрази (формули за съкратено умножение, правила за действия, привеждане към общ знаменател, разкриване на скоби, съкращения и т. н. ).
Например: Подусловие б):

2. Функции на разлика на два ъгъла
(5)
(6)
(7)
(8)
Задача 1. Намерете: а)

Решение: Ако представим ъгъл 15^° като разлика на два ъгъла с известни стойности на тригонометричните функции, с помощта на формули (5) – (8) можем да решим задачата.

Например:

Проверете дали ще получите същия резултат, ако представите ъгъл 15^° като разликата 45^° - 30^°.
Внимание! В някои случаи, при намиране тригонометричните функции на даден ъгъл е възможно той да се представи като сбор или като разлика на подходящи ъгли и да се използват съответните формули.

Пример:

формула (2)

формула (6)

б)

Задача 2. Пресметнете:
а)

б)

в) г)

Задача 3. Опростете изразите:
а)

; б)

;
в)

; г)

;
Задача 4. Докажете тъждествата:
а)

; б)

;
в)

; г)

;
д)

;
Доказателство:

. Следователно, равенството е тъждество.
е)

.
ІІ. Тригонометрични функции на удвоен ъгъл и на половинка ъгъл

1. Функции на удвоен ъгъл

Ако е даден произволен ъгъл α, неговият удвоен ъгъл е 2α. Представяйки 2α = α + α, от формули (1)–(4), при β = α, получаваме четири тъждества (формули), с чиято помощ може да се изразят или пресметнат тригонометричните функции на удвоения ъгъл чрез тези на неговата половинка:

(9)

(10)

(11)

(12)

Например:

По аналогичен начин се получават и останалите формули за функции на удвоен ъгъл.

Ако във формула (10) последователно заместим с и с , тя получава следния разширен вид:

(10^')

От (13)

От

(14)
Последните две формули се наричат формули за понижаване на степента, тъй като след използването им вторите степени на sinα и cosα се заместват с първата степен на cos2α.

Внимание! В записването на формулите 2α е удвоеният ъгъл, а α е неговата половинка. В задачите означението на мерките на ъглите може да е различно. Към използване на някоя от формулите в дадена задача може да ни упъти участието на ъгли, чието отношение е 2 : 1. Например:

;

и т. н.
Задача 1. Пресметнете:

а) ; .

Упътване: Всеки от изразите има вид, съответстващ на дясната страна на някоя от формулите. С нейна помощ го заменете с тъждествено равния му. Ще получите тригонаметрична функция на някой от често използваните ъгли, чиято стойност знаете.

б) ; .

Упътване: Представете по подходящ начин мярката на всеки от ъглите. Имате повече от една възможности. Например:

(периодичност и нечетност)

Задача 2. Ако

, пресметнете

.

Задача 3. Опростете изразите: а)

;

б) ; в) ;

г) ; д) .
Задача 4. Докажете тъждествата:

а) ; б) .

2. Функции на половинка ъгъл

Ако е даден произволен ъгъл , мярката на неговата половинка е . От формулите за понижаване на степента, като заместим с и след това коренуваме, получаваме

(15)

(16)

От , след заместване в числителя и знаменателя в съответствие с по-горните формули, получаваме:

(17)
Аналогично:

(18)

Знакът пред радикалите се определя въз основа на информацията в конкретната задача за квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъл .

Задача 1. Ако

, пресметнете:

;

.
Решение:

;

.

Задача 2. Ако

, пресметнете:

;

.

Задача 3. Докажете тъждествата:

а) ; б) .

в) ; г) .
Внимание! В доказателствата преобразуванията на изразите могат да се извършат по различни начини, в зависимост от тъждествата, които използвате. Например, в подусловие г) можете да изразите чрез тригонометричните функции на половинката му - формула (10), но можете и да изразите с помощта на формула (16).

ІІІ. Сбор и произведение на тригонометрични функции

1. Преобразуване на сбор или разлика от тригонометрични функции в произведение

Задача 1. Представете като произведение изразите:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение на подусловие в):

Задача 2. Пресметнете: а) ; б) .
в) ; г) .
Решение на подусловие а) :
Решение на подусловие в):

Задача 3. Опростете изразите:
а) ; б) .

2. Преобразуване на произведение на тригономметрични функции в сбор

Задача 1. Представете като сбор на тригонометрични функции от първа степен следните изрази: