Разработка и исследование мехатронной мобильной системы шарового типа
Разработка математической модели робота
Изтегляне 1.09 Mb.
|
Свързани:
Конструктивное усовершенствование шасси самолета Ту
| 2.2 Разработка математической модели робота
Синтез модели объекта предполагается в два этапа: синтез системы, управляемой углами отклонения объекта α1 и α2, и модель, учитывающая динамику передвижения внутреннего тела как одноосной тележки (см. разд. 2.3, 2.5). Для синтеза модели объекта используется векторное представление скорости всей сферы. Таким образом, объект представлен в виде угла и длинны вектора скорости, а также их производными. Для вывода уравнений модели объекта рассмотрим следующую ситуацию его движения: объект движется со скоростью V, находящейся в плоскости движения под углом φ к осям координат. Внутренний груз находится под углом α2 к осям координат, отмеряемым в плоскости движения. Вид такой ситуации представлен на рис. 2.6. Рис. 2.6 - Положение векторов и объекта в рассматриваемой ситуации Для оси вектора скорости и вектора, перпендикулярного ей, можно составить следующие динамические уравнения, учитывающие инерцию системы, силу трения, а также силу разгона: Для определения второй производной угла поворота вектора скорости воспользуемся формулой изменения угла при определенной линейной скорости его конца и его длинны. Получаем следующие формулы для изменения вектора скорости: Итак, реализуя численное решение данных дифференциальных уравнений во времени, можно получить компьютерную модель объекта, сферы с внутренним грузом, управляемую углами отклонения α1 и α2. Реализация этой модели представлена в разд. 2.3. Далее будем усложнять полученную математическую модель. Суть усложнения в замене просто груза на поверхности сферы одноосной тележкой, которая имеет в придачу к указанным степеням свободы α1 и α2 еще и степень свободы α3, угол, который отвечает за поворот тележки на поверхности сферы. Полученная система отсчета углов представлена на рис. 2.7. Рис. 2.7 - Схема степеней свободы и параметров модели с грузом-тележкой При таком расширении модели управляющими становятся скорости вращения колес или, если учитывать наличие движителей, то управляющий сигнал на движителях (напряжение). Однако математическое описание модели с тележкой следует начать с определения изменения старых степеней свободы от новой степени и их зависимость от управляющих сигналов. Запишем уравнения для скорости движения тележки по широте и по долготе сферы в зависимости от угла α3 и скорости прямолинейного движения тележки Vц: Далее выведем скорость прямолинейного движения тележки Vц из скоростей каждого из колес V1 и V2 (где V2 - скорость правого колеса, которое находится со стороны тележки, к которой производится отсчет угла α3, а V1 - скорость левого): Движение тележки можно разделить на прямолинейное и вращательное. Их совокупность дает движение по дуге, однако в данной модели они рассматриваются отдельно. Так что далее определим и скорость вращения тележки вокруг своей оси ωвр по направлению отсчета угла α3: Выразим скорости колес через частоту их вращения и их радиус, обозначенный как r: Подставив полученные выражения для скоростей в формулы для вертикального, горизонтального и вращательного движения, выразим производные углов, описывающих тележку: В данных выражениях фигурирует пока не определенная величина Rэф. Эта величина отражает действительный радиус вращения центра оси тележки, который отличается от радиуса сферы R. Он показан на рис. 2.8. Рис. 2.8 - Обозначения радиуса сферы R, длины половины тележки l, радиуса колеса r и эффективного радиуса вращения центра тележки Rэф Таким образом, получаем следующее выражение для эффективного радиуса вращения Rэф центра тележки: . Стоит заметить, что данные расчеты справедливы при допущении о том, что отдельно взятое горизонтальное движение происходит по окружностям в горизонтальных плоскостях, что на самом деле не является истинным. Однако погрешность при таком допущении весьма не велика, так что ей можно пренебречь. Далее необходимо решить вопрос с последним из факторов, влияющих на определяющие углы α. Это вращение сферы во время движения. Так как учет изменения радиуса вращения из-за ненулевой массы сферы и, как следствие, ее инертности весьма затруднителен и приведет к ненужным увеличениям требуемой вычислительной мощности, то принято решение пренебречь этим изменением. Такое решение принято на основании того, что при рассматриваемых соотношениях масс центра и оболочки оно имеет незначительный и редко проявляющийся эффект. Данный вопрос рассматривался в рамках моделирования такого объекта в системе моделирования Model Vision Studium 3, которое показало крайнюю сложность учета этих отклонений для радиуса вращения, и редкое и незначительное его проявление при отсутствии весомого превосходства массы оболочки над массой груза. Таким образом, корректировка дифференциального уравнения для угла α1 выглядит следующим образом: На этом заканчиваются математические выкладки по упрощенной и полной модели объекта. Некоторые дополнения будут внесены позднее и связаны они будут с моделированием движителей. Пока же рассмотрим построение упрощенной модели. Изтегляне 1.09 Mb. Сподели с приятели:
|