Яне на многокомпонентни системи
Подход нютон-рафсон за изчисляване на колони за многокомпонентна ректификация
Изтегляне 2.42 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Същност на числовия метод Нютон-Рафсон
| 3.4.2.2. Подход нютон-рафсон за изчисляване на колони за многокомпонентна ректификация.
Подходът Newton-Raphson предвижда в рамките на даден итеративен цикъл едновременно да се уточняват стойностите най-малко на две векторни променливи. Стойностите на останалите векторни променливи следва да се се пресмятат като функция от стойностите на тези, които се уточняват. Векторните променливи, които се уточняват, са измежду следните 6 на брой [ ] . В началния вариант на реализация на подхода Newton - Raphson (около 1970г.) се предвиждало едновременно уточняване само на две от векторните променливи ( и ). В днешно време, обаче, широка употреба получи един още по-модерен, съвременен вариант известен като метод NAFTALI - SANDHOLM. При него, едновременно, в рамките на една итерация, се уточняват три векторни променливи температурите ( ), дебитите ( ) и концентрациите в течна фаза ( ). От само себе си се разбира, че ако се избере друга комбинация от векторни променливи, които следва едновременно да се уточняват, са възможни и други методи и варианти на подхода Newton-Raphson. Подходът е създаден на основата на популярния в изчислителната математика числов метод Newton-Raphson за итеративно решаване на система нелинейни зависимости. Същност на числовия метод Нютон-Рафсон Методът Нютон-Рафсон използува известната постановка, че всяка функция в околност на точка може да се апроксимира в ред на Тейлър: (3.4.17) където:
- приближена стойност в околност на точката, където се работи с . Колкото по-висши производни има в горния ред, толкова дясната част с по-голяма точност апроксимира истинската стойност на функцията. Методът Нютон-Рафсон обикновено ограничава развитието на функцията в Тейлъров ред само до първата производна, известно като линеаризация на функцията. Да си представим, че се търси решението на система от две функционални зависимости с две променливи и . Развитието на тези функции в ред на Тейлър, до членове на реда от първа степен изглежда по следния начин: (3.4.18) Очевидно е че разликите: (3.4.19) представляват погрещностите, които се допускат при изчисляване на функциите и . Ако с е разликата между приближената и действителната стойност на даден корен, тогава системата 3.4.18 се преобразува във вида: (3.4.20) Тази система в матричен вид изглежда така: (4.3.21) Квадратната матрица на първите производни спрямо променливите представлява матрица на Якоби (Якобиан) и се означава с . След въвеждане на това обозначение се получава още по-съкратен матричен запис на 4.3.21. (4.3.22) Ако сега системата се реши спрямо неизвестните корекции и , е възможно следващата итерация да започне с нови две начални приближения: (4.3.23) Понеже при развитието на функцията в Тейлъров ред бяха пренебрегнати производните от по-висока степен, т.е. вместо истинските функции, се използуват техните линеализирани стойности, то съответно и корекциите на променливите в системата 4.3.22 не водят до истинските стойности, а само до ново приближение, което може да се използува за следваща итерация. Решаването на 4.3.22 спрямо променливите може да стане по различен начин, но един от най-ефективните е този, при който стойностите се получават като се използува обратната матрица на Якобиана т.е. : (4.3.24) Условие за такъв начин на определяне на е Якобианът да не е изроден или сингулярен (т.е. диагоналните елементи съществено да се отличават от нула). Изтегляне 2.42 Mb. Сподели с приятели:
|