Грешка на апроксимацията на подобрения метод на Ойлер

,

ако . Нека . Тогава

Да отбележим, че и тук, както при явния метод на Ойлер, грешката на апроксимация

на диференциалния оператор с диференчния е от първи ред по . По-високият ред на апроксимация на диференциалното уравнение с диференчното се постига благодарение на различната апроксимация на дясната част .

Методите на Ойлер - явен, неявен и подобрен се получават и като частни случаи на двата основни класа диференчни методи за решаване на задачата (1),(2) - едностъпкови и многостъпкови. Както едните, така и другите биват явни и неявни. Едностъпковите методи имат вида

.

Ще изучим явните методи на Рунге - Кута. Съществуват още неявни и полуявни методи на Рунге - Кута [2], метод на Розенброк [3], които остават извън рамките на този курс.

За да започне прилагането на -стъпков метод са необходими начални стойности - , които трябва да бъдат намерени по друг метод.

При методите са явни, а при - неявни. Съществуват многостъпкови методи, в дясната част на които освен се съдържат и производните от по-висок ред на . Те имат вида

и в литературата са свързани с името на Обрешков.

От многостъпковите методи ще изучим явните и неявни линейни методи.