Числени методи за задачата на коши за обикновено диференциално уравнение от

От свойствата на функцията зависи и непрекъснатата зависимост на решението от началното условие , т.е. неговата устойчивост. Решението на уравнението (1), съответстващо на началното условие (2), се нарича устойчиво по начални данни (по Ляпунов), ако за съществува , че от неравенството следва за , където е решението, определено от началното условие .

Да изследваме как зависи устойчивостта по начални данни от свойствата на . Нека е решение на задачата

(4)

(5) .

За разликата след очевидни преобразования получаваме задачата:

или ако означим :

6. 
   ,
   
7. 
   .
   

(8) .

Да разгледаме два случая:

а) , т.е. за всички . Тогава , от което следва и , т.е. за , което означава устойчивост на решението на задачата (1),(2) по начални данни.

б) . Тогава , , , . Следователно при , т. е. решението не е устойчиво по начални данни.

И така, при решението на задачата (1),(2) е устойчиво, при е неустойчиво. Тъй като решението на задачата (6),(7) при има поведение, аналогично на това на решението на линейното уравнение

(9)

то задачата (9) е приета за моделна при изследване устойчивостта на числените методи за задача (1),(2). Нейното точно решение е и има следните свойства:

(10) при ,

(11) при ,

(12) при , при ,

(13) е монотонна функция при произволни и .

Ако численият метод за решаване на задачата (1),(2), приложен към моделната задача (9) при дава приближено решение, за което е изпълнено неравенство, аналогично на (10), казваме, че методът е абсолютно устойчив. Ако при всяко той дава приближено решение, което има свойства, аналогични на (12),(13) (т. е. той запазва знакоопределеността и монотонността на решението), казваме, че методът е монотонен. В случая разглеждаме друг вид устойчивост (т. н. относителна устойчивост), която ще дефинираме по-късно.