Апроксимация, устойчивост по начални данни, монотонност и сходимост на явния метод на Ойлер

1. 
   Грешка на апроксимацията.
   

По (25) и (22) имаме:

ако . Нека . Тогава

(26) .

Следователно локалната грешка на апроксимация и грешката на апроксимация върху мрежата са от първи ред по отношение на .

2. 
   Устойчивост по начални данни и монотонност.
   

Изследваме ги върху моделната задача

,

.

За да бъде изпълнено неравенство, аналогично на (10)

за ,

достатъчно е

(27) .

Дясното неравенство е изпълнено за всяко , а лявото - при следното условие за стъпката :

(28) .

Казва се, че явният метод на Ойлер е условно абсолютно устойчив  абсолютно устойчив при изпълнение на условието (28).

За да бъдат изпълнени неравенства, аналогични на (12):

при , при , ,

достатъчно е

(29) .

Казва се, че явният метод на Ойлер е условно монотонен - монотонен при изпълнение на условието (29). Да отбележим, че условието за монотонност (29) е по-силно от условието за устойчивост.

3. 
   Сходимост и оценка на грешката.
   

Дефинираме мрежова функция:

(30) , ,

която се нарича грешка на диференчния метод.

Ако

при ,

казва се, че диференчният метод е сходящ - има сходимост на приближеното решение към точното. Ако , казва се, че сходимостта (скоростта на сходимост) е от ред .

Да изследваме сходимостта на явния метод на Ойлер. Приближеното решение удовлетворява (22), а поради грешката на апроксимация и грешките от закръгляванията на всяка стъпка мрежовата функция , съответстваща на точното решение , ще удовлетворява диференчните уравнения

(31) .

Изваждаме уравнението (22) от (31) и за грешката получаваме диференчната задача:

(32) ,

(33) .

Като използваме условието на Липшиц (3) за , последователно получаваме

,

Нека , , , и да използваме неравенството :

.

Следователно

(34) , .

Нека и . Тогава при всяко фиксирано

(35) .

И така, ако функцията удовлетворява условието на Липшиц (3), и ако предположим, че грешката на началните данни е нула и не се правят грешки от закръглаване, то имаме сходимост на приближеното решение към точното и сходимостта е от първи ред. Да обърнем внимание обаче, че константата зависи от дължината на интервала , от и от .

Нека сега и . Както се вижда от (34), при всяко фиксирано грешката остава ограничена, но при тя расте експоненциално по .

Както всяка теоретична оценка, оценките (34) и (35) са завишени и съдържат предварително неизвестна информация за търсеното решение. Те обаче дават информация за източниците на реалната грешка в числените резултати. По-нататък ще се запознаем с метода на Рунге за практическа оценка на грешката.