Дисперсионен анализ

Видовете корелационна зависимост се дефинират по следните критерии:

1. 
   В зависимост от направлението (насоченост, тип) на корелационната връзка различаваме:
   
   • 
     положителна (еднородна) , за която е характерно еднопосочното изменение на x и y.
     
   • 
     отрицателна (разнородна), при която измененията в числените значения на x и средните числени значения на y стават в противоположни направления.
     
2. 
   В зависимост от тенденцията (формата) в изменението на средните числени значения на величината на изучавания признак, които се извършват във връзка с измененията на фактора различаваме праволинейна (линейна) и криволинейна корелация. При праволинейната корелация средните числени значения на изследвания показател се изменят под влияние на показателя фактор приблизително равномерно. Графически тази връзка се представя с права линия. Криволинейната корелация се характеризира с неравномерно изменение на средните числени значения по изучавания показател под влияние на фактора. Графически това е крива линия. В зависимост от вида на статистическите редове корелационната зависимост бива при редове на разпределение и при динамични редове.
   
3. 
   В зависимост от броя на факторите тя бива единична (проста) корелация, множествена и частична. Корелационната връзка е единична, когато причинната връзка се наблюдава между две явления, които са представени от 2 статистически реда. Единият изразява вариацията на независимата променлива, а другият - вариацията на зависимата променлива. Множествена корелация е налице, когато зависимата променлива се обуславя от корелацията на две или повече променливи или зависими величини. Частична корелация - при нея с помощта на съответни методи се измерва зависимостта между зависимата и независимата променлива, а останалите независими променливи условно се държат на едно постоянно равнище.
   
4. 
   В зависимост от скалирането (номинална, рангова, ординална), на която са представени изучаваните показатели се установяват 2 групи методи за изучаване коефициента на корелация:
   
   • 
     при силни скали се използват параметрични методи
     
   • 
     при слаби скали се използват непараметрични методи.
     

1. 
   предварителен (априорен) - при него се определя независимата и зависимата променлива, които трябва да произлизат от качествено еднородна съвкупност
   
2. 
   въз основа на разполагаемите емпирични данни се определя най-подходящия статистически модел
   
3. 
   определяне степента на теснотата на връзка между фактора и резултата. Корелационната зависимост може да бъде измерена, представена.
   

Една от най-често срещаните формули за изчисляване на коефициента на корелацията е:

S²_y

r = √1 - ──

σ²_{y (1)}

където S²_y е стандартната грешка на оценката. Това е мярка за разсейването на емпиричните (фактическите) значения на y около регресионната линия. Тя е част от общата дисперсия σ²_y , поради което колкото S²_y е по-малка, толкова връзката е по-тясна (по-силна). В обратния случай връзката е по-слаба. Това е лесно разбираемо, като се има предвид, че при пълна корелационна зависимост (практически това означава функционална зависимост) фактическите значения на y биха лежали върху регресионната линия, а фактическите значения съвпадат с теоретичните (y_i = ŷ_i).

Формално погледнато според формула (1) полученото значение за r е винаги положителна величина, варираща в граници от 0 до 1. В действителност обаче корелационна връзка може да бъде положителна (пряка), когато параметърът b е положителна величина. При r = 0 липсва каквато и да е корелационна връзка, а при r = 1 връзката е максимално тясна (пълна) и се възприема като функционална. В някои случаи обаче връзката може да е и отрицателна (обратна), когато с нарастването на факторната променлива x , значенията на резултативната величина y намаляват. В такива случаи параметърът b на регресионното уравнение е отрицателна величина, от което следва, че и на получения корелационен коефициент трябва да се постави знак минус. По този начин коефициентът на единичната обикновена корелация може да приеме значения в граници от -1 до +1, т.е. -1 ≤ r ≤ 1. Колкото корелационният коефициент е по-близо до единица, толкова и връзката е по-тясна.

Коефициентът на индетерминацията (на неопределението) е величина, допълваща коефициента на детерминацията до единица – (1 – r²) . И двата коефициента имат ясен смисъл:

• 
  величината r² × 100 показва какъв процент от общата вариация на зависимата променлива y се обуславя от факторната променлива x .
  
• 
  величината (1 – r²)100 определя останалата част от общата вариация на y , която се дължи на всички останали влияния (включително и случайните) извън включения в модела (изследвания) фактор x .
  

Един от тези начини е известен като метод на нормираните отклонения (метод на Браве):

─── ─ ─

xy – x × y

σ_x σ_{y (2)}

─ ─

─ ─

Корелационният коефициент на Кендъл е еквивалентен на този на Спирман по отношение на условията за използване (предположения) и мощност. Двата коефициента обаче имат различна величина. В най-общия случай зависимостта между стойностите им е: -1 ≤ 3 (Кендъл) и R ≤ 1 (Спирман). Това се дължи на коренно различната хипотеза в двата случая и интерпретация на резултата. Коефициентът на Спирман има същото значение, каквото е и коефициентът на Пирсън, но за рангови променливи. Коефициентът на Кендъл има смисъл на вероятност и представлява вероятността за това дали данните в първата променлива са в същия ред, както във втората или не са. Има две разновидности на коефициента на Кендъл – τ_b и τ_c . Те са почти еднакви по стойност. Ако има несъответствие между двете стойности е по-сигурно да се интерпретира по-малката.