Курсова работа по математика Tема Kомбинаторика На Мариян Нен4ев от 10-z клас №18



Дата12.12.2017
Размер66.95 Kb.
Курсова работа по математика

Tема Kомбинаторика

На Мариян Нен4ев от 10-z клас №18

1.Основни правила на комбинаториката-при решаването на много задачи се налага да определим броя на елементите на някакво краино множество.За тази цел се използват две основни правила:

а)Правило за събиране-Ако елементът а може да бъде избран по n начина,а елементът b-по m начина,то кой да е от елементите a или b може да бъде избран по n+m начина.

Например,ако от джа класа с 25 и 28 у4еници трябва да изберем един у4еник за у4астие в у4ени4ески съвет,това може да стане по 25+28=53 на4ина.



б)Правило за умножение-Ако елементът a може да бъде избран по n начина и при всеки избор на a елементът b може да бъде избран по m начина,то изборът на наредената двойка(a;b)може да стане по n.m начина.

Например ако един треньор разполага с 3 акробати и 4 акробатки,той може да сформира по 3.4=12 на4ина смесена двойка от един акробат за у4астие в състезание.



Зада4а 1.В един ресторант предлагат 3 вида супи,5 основни ястия и 4 десерта.Колко разли4ни обяда (супи,основно ястие и десерт) може да се поръ4а в този ресторант?

Решение.Съгласно правилото за умножение броят на възможните групи (супи;ястие) е равен на 3.5=15.Сега,като комбинираме всяка такава двоика с възможните десерти,отново съгласно правилото за умножение ще полу4им,4е броят на разли4ните обяди е 15.4=60.



2.Пермутации от n елемента.

Зада4а 2.Иван,Петър и Георги спе4елили състезание с награди фотоапарати,калкулатор и 4асовник.По колко разли4ни на4ина те могат да си разделят наградите?

Решение.Ако Иван е взел фотоапарата,за Петър и Георги остава калкулаторът и 4асовникът,които те могат да си разпределят по два на4ина.Аналоги4но можем да разъждаваме в слу4аите,които Иван вземе калкулатора или 4асовника.

1 2 3 4 5 6

Иван фот. Фот. Калк. Калк. 4ас. 4aс.

Петър калк. 4ас. Фот. 4ас. Фот. Калк.

Георги 4ас. Калк. 4ас. Фот. Калк. Фот.



Зада4а 3.Кой са 4етирицифрените 4исла,които съдържат цифрите 1,2,3 и 4 то4но по един път?

Решение.Да преборим 4етирицифрените 4исла с първа цифра 1.На останалите места можем да поставим коя да е от трите цифри 2,3 и 4.Както знаем от пържата зада4а,това мойе да стане по шест на4ина,т.е. има то4но 6 4исла от искания вид с първа цифра 1.Понеже на първо място може да поставим 4 разли4ни цифри,съгласно правилото за умножение имаме,4е броят на вси4ки 4етирицифрени 4исла,които съдържат цифрите 1,2,3 и 4.е 4.6=24.В двете разгледани зада4и бяха дадени няколко елемента (награди,цифри) и търсехме броя на на4ините,по които можем да ги наредим-като всеки елемент у4аства то4но по един път.

1234 2134 3124 4123

1243 2143 3142 4132

1324 2314 3214 4213

1342 2341 3241 4231

1423 2431 3412 4312

1432 2413 3421 4321



a)определение и примери-наредена група,която съдържа точно по един път от дадените n елементи.

Броят на вси4ки пермутации от n елемента се озна4ава с Pn. С разсъждения,аналоги4ни на тези,които направихме при решаването на горните зада4и,се вижда,4е Pn=nPn-1,откъдето намираме



б)фармула за броя на пермутациите-броя на всички пермутации на п елемента е:

Pn=n(n-1)(n-2)…3.2.1.

За краткост е прието произведението n(n-1)(N-2)…3.2.1 да се озна4ава с n!Символът n! Се 4ете n-факториел.Така може да запишем:



Pn=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!

Да обърнем внимание,4е две пермутации имат едни и същи елементи и се разли4ават само по реда на елементите.



Зада4а 4.На една карта има шест страни.По колко на4ина може да бъде оцветена картата с шест цвята,така 4е вси4ки страни да бъдат разли4но оценени?

Решение.Да си мислим,4е страните са шест квадрат4ета,наредени едно до друго,а на всеки цвят да съпоставим 4исло от 1 до 6.Тогава оцветяването на картата по някакъв на4ин съответства на 4ислата от 1 до 6 по произволен на4ин в квадрат4етата,например:

4 2 6 3 1 5

Така всъщност всяко оцветяване съответства на една пермутация на тези шест 4исла.Броят на тези пермутации е P6=6!=6.5.4.3.2.1=720.Следователно картата може да бъде оцветена по 720 разли4ни цвята.



3.Вариация на n елемента к-ти клас.

Зада4а 5.За олимпияда по шахмат трябва да се състави отбор от трима души,като се определи кой от тях ще играе на първа,кой на втора и кой на трета дъска.Колко разли4ни отбора могат да се съставят от 6 шахматисти?

Решение.Нека игра4ите са А , Б , В , Г , Д и Е.Изборът на игра4а за първата дъска мойе да стане по 6 на4ина.Нека сме избрали игра4а В.Тогава за втората дъска имаме възможност да изберем един от игра4ите А , Б , Г , Д и Е,т.е. това може да стане по 5 на4ина.Съгласно правилото за умножение изборът на игра4ите за първите две дъски може да стане по 6.5=30 на4ина.Нека сега за първите две дъски сме избрали игра4ите В и Г.Тогава за трета дъска имаме възможност да избереме един от игра4ите А , Б , Д и Е,т.е. това може да стане по 4 на4ина.Съгласно правилото за умножение отборът може да се състави по 30.4=120 на4ина.Решената зада4а показва ,4е ако имаме 6 разли4ни елемента,от тях мойем да образуваме 6.5.4=120 разли4ни наредени троики.



Зада4а 6.Колко са 4етирицифрените 4исла ,в които се срещат само цифрите 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 и 7 и никоя цифра не се повтаря?

Решение.Първата цифра може да бъде избрана по 7 на4ина.Да избереме коя да е от дадените цифри,например 7.За останалите три цифриот 4ислото имаме възможност да изберем една от цифрите 1 , 2 , 3 , , 5 и 6.Сега можем да приложим резултата от предишната зада4а-наредена тройка цифри може да се избере от 6 цифри по 6.5.4 на4ина.Тогава броят на вси4ки разглеждани 4етирицифрени 4исла е 7.6.5.4=840.



a) определение и примери-наредена група от к различни елементи (Kn ) , избрани измежду дадените n елемнта .
Браоят на вариациите на n елемента к-ти клас се озна4ава с Vk/n.Две вариации са разли4ни или ако имат по един разли4ен елемент,или ако емат еднакви елементи,но наредени по разли4ен на4ин.В зад.5 всеки отбор представлява вариация на 6 елемента от 3-ти клас , а в зад.6 всяко 4етирицифрено 4исло е вариация на 7 елемента от 4-ти клас.С расъждения ,аналоги4ни на тези,които направихме при решаването на зада4а 5 и 6 може да се докаже следната теорема.

б)Формула за броя на вариациие – Броят на вариациите на n елемнта от к-ти клас е
Vk/n=n(n-1)(n-2)….(n-k+1)
Да обърнем внимание,4е призведението n(n-1)(n-2)…(n-k=1) има k множители.

Зада4а 7.Сашо знае,4е телофонният номер на приятеля му има шест разли4ни цифри,но помни само първите три от тях.Колко опита най-много трябва да направи,за да полу4и номера на приятеля си?

Решение.Тъй като вси4ки цифри са десет,а Сашо знае три,то той трябва да избере три от останалите 7.Тъй като редът на цифрите е от зна4ение,то броят на жси4ки проби е равен на броя на вариациите от 7 елемента 3-ти клас т.е. V3/7=7.6.5=210.Следователно Сашо трябва да направи най-много 210 опита.



4. Комбинации от n-елемнта к-ти клас
Зада4а 8.В олимпиадите по информатика ъ4астват отбори от трима души.По колко разли4ни на4ина може да се състави отборът,ако изборът се прави измежду шест ъ4еници?

Решение.Да озна4им ъ4ениците с А , Б , В , Г , Д и Е.Броят на вси4ки наредени трйки ъ4еници е равен на V6/3=6.5.4=120.В тази ситуация е важно кои ъ4еници влизат в отбора,но редът им в списъка няма зна4ение.Така тройките (А , Б , Д) и (Д , А , Б)представляват един и същ отбор.За да полу4им броя на разли4ните на4ини,по които може да се състави отборът,трябва да видим колко пъти се повтаря всяка тройка .Но Броят на разли4ните наредени тройки от три елемента е равен на пермутациите от три елемента-3!=6.Следователно броят на тройките,образувани от 6 разли4ни елемента,без да си взима редът на елементите в дадена тройка,е 120 =20.Така полу4аваме ,4е има 20 разли4ни възможности за

6

съставяне на отбор.



a)определение и примериГрупа от к различни елемента  n) избрани измежду дадените n елемента , като редът на елементите в групата не е от значение .
Броят на комбинациите на n елемента к-ти клас се озна4ава с Ck/n.Две комбинации са разли4ни,ако имат поне един разли4ен елемент.В зад.8 всеки отбор представлява комбинация на 6 елемента от 3-ти клас.С разсъждение,аналоги4но на тези от зад.8,се доказва следната теорема.

б)Формула за броя на комбинацията - Броят на комбинациите на n елемента к-ти клас е

Ck/n=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=n
k(k-1)(k-2)…3.2.1 k

4ислото n(n-1)(n-2)…(n-k+1) ,където n e произволно реално 4исло ,а к-естествено 4исло,се озна4ава с (n)



k(k-1)(k-2_...2.1 (k)
и се 4ете ,,n над k’’.За удобство е прието под (n) да се разбира 1.Така може да се запи6е:

(0)


Cn/k=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n)

k(k-1)(k-2)…3.2.1 (k).

Зада4а 9.При у4астия в играта ,,6 от 49”на Спортния тотализатор игра4ите попълват фиш с 6 4исла от 1 до 49.Колко разли4ни фиша могат да бъдат попълнени?

Решение.Тъй като редът на попълването на 4ислата в един фиш няма зна4ение,то свеки фиш е една комбинация на 49 елемента от 6-ти клас.съгласно формулата броят на разли4ните фишове е



C49/6=49.48.47.46.45.44=49.47.46.3.44=13 983 816.

6.5.4.3.2.1

5. Вероятност :
а) определение и примери – отношението на броя n ( А ) на благоприятните изходи към броя на възможните изходи n за настъпване на събитието А,т.е.

Р(А)=брой на благоприятните изходи= n(A)



брой на възможните изходи n
Зада4а 1.Двама играят следната игра с два еднакви зара.Единият хвърля заровете и ако сборът от то4ките е по-голям от 7-пе4ели,а ако сборът от то4ките е по-малък или равен на 7-пе4ели вторият.Кой има по-голяма вероятност да спе4ели-този,който хвърля заровете,или другия игра4?

Решение.Както видяхме,вси4ки възможни изходки при хвърляне на два зара са 36.Да разгледаме таяблицата с възможните сборове.

Сбор 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Брой пъти 1 2 3 4 5 6 5 4 3 3 1

б) събиране на вероятности - Ако събитията А и В са несъвместими,то


Р(АВ)=Р(А)+Р(В)


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница