Мерки на централната тенденция

75 вид средни стойности, тъй като всички те отразяват тенденцията в разположението на центъра на честотното разпределение. Най-често използваните мерки на централната тенденция са: средна, медиана, мода.
Мерките на централната тенденция са точки върху скалата на измерване на променливата.

Мода (М
О
)
Модата M
0
е най-елементарният показател на централната тенденция.
Тя се определя като стойността с най-голяма честота в разпределението и се намира непосредствено чрез броене. При групирани данни за мода се приема средата на класа с най-голяма честота. Когато две несъседни стойности (или два несъседни класа при групирани данни) се наблюдават по-често от останалите стойности (или класове), то разпределението се нарича бимодално:

76
Съществуват и многомодални разпределения, а също и разпределения без мода. Например, ако вариационният ред на случайна променлива е 1, 2,
3, 4, 5, 6, то тази променлива няма мода. Ако две или повече съседни стойности се срещат еднакво често, с честота, по-голяма от тази на останалите, то модата е средното аритметично на тези стойности.
Модата е твърде груба мярка на централната тенденция. Тя дава малко информация и единственото, което показва, е стойността с най-голяма
честота. Не участва в изчисления, използва се главно при голям брой измервания и то във връзка с другите мерки на централната тенденция.
Пример. Да се определи модата за следните вариационни редове: а) 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6. Отг. M
0
=3. б) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6. Отг. M
0
=2, M
0
=5. в). 1, 3, 5, 10, 12, 14, 20 Отг. Не съществува мода.

Медиана (Me)
Медианата е втората мярка на централната тенденция. Дефинира се като стойността, която се намира в средата на статистическия ред, т.е. тя е онази стойност, за която половината от измерванията са по-малки от нея, а другата половина са по-големи от нея. За да се изчисли медианата е необходимо да се построи вариационен ред, да се изчисли поредният номер на медианата във вариационния ред (N
Me
) по формулата:
След това трябва да се отчете стойността, която заема N
Me място във вариационния ред. Ако обемът на извадката (n) е нечетен брой, в средата на подредените числа има само една стойност и тя е Ме. Ако n e четно число, в средата на реда има 2 стойности. Ме е тяхна средна стойност.

77
При изчисляването на медианата не участват всички стойности на променливата и затова тази мярка не се влияе от екстремални стойности, т.е. от стойности, които силно се различават от останалите.
Пример. Да се определи медианата за следните вариационни редове: а) 1, 2, 3, 4, 5, 6,7. Отг. Me=4. б) 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8. Отг. Me=4,5=(4+5)/2.
Средна стойност
Средната стойност се дефинира като средно аритметично на всички измервания (n) на разглежданата променлива:
Ако стойността x
i има честота f
i
то средната може да се пресметне и по формулата:
Като
В този случай говорим за формула за средната с тегла.
В изчисляването на участват всички стойности на променливата. Поради това е най-прецизният измерител на средното равнище. В същото време, при наличие на силно отклоняващи се стойности, може да не дава вярна представа за центъра на разпределението.
Изборът на на-подходяща мярка на централната тенденция зависи от скалата на измерване. Ако данните са номинални, то единствената подходяща мярка е модата. За ординални данни се използват модата и медианата. За метрични данни са подходящи и трите мерки. При анализа на метрични данни обикновено се дават поне две мерки – най-често средната и медианата.

78
Вторият критерий за избора на мярка на централната тенденция е по- нататъшното използване на тази мярка. Ако целта е описателна, то трябва да се използва мярката, която най-добре описва данните. При достатъчно голям обем на извадката, обикновено най-подходяща мярка е средната. Но не и в случаите на разпределения с много върхове, с отворени класове или при наличието на екстремални стойности. Медианата се използва при извадки с малък обем, при разпределения с отворени класове и при силно асиметрични разпределения. Модата е подходяща за характеризиране на разпределения с много върхове.
Ако целта е да се направят изводи за генералната съвкупност на базата на информацията за извадката, то изборът зависи от методите на статистическия извод, които ще се прилагат. В тези случаи се предпочита средната. Тъй като средната предполага метричен тип скала, тя може да участва в математически изчисления, които са неприложими за модата и медианата. Сравнение между трите мерки може да се направи и визуално, като се сравнят по отношение на позициите им върху графиката на честотното разпределение. Ако разпределението е симетрично и едномодално, то :

79
При ляво изтеглено разпределение
Тогава и затова разпределението се нарича отрицателно асиметрично.
Дясно изтегленото разпределение е положително асиметрично, показано на долната графика, тъй като при него и
Медианата и модата не се влияят от екстремални измервания в разпределението, докато средната е много чувствителна към такива стойности. Следователно, когато разпределението е асиметрично, най-добре е да се покажат и трите мерки. Това ще даде по-пълно описание на разпределението, отколкото всяка мярка поотделно.

Изтегляне 3.24 Mb.

Сподели с приятели: