Лекция 7 непрекъснатост и производна на функции Множество на реалните числа

(7.8)

Доказателство. От последователното прилагане формулата за диференциране на произведение се вижда, че

,

където , , ..., са коефициенти, които зависят само от реда на диференциране и не зависят от конкретния избор на функциите и . Това ни дава възможност да определим въпросните коефициенти чрез специален избор на функциите и , където са някакви константи. Лесно се проверява, че и , за всяко цяло неотрицателно . От друга страна и следователно . Като заместим в горната формула и съкратим всички събираеми на намираме

(7.9) ,

което означава, че , , понеже биномните коефициенти са единствените, за които равенството (7.9) е изпълнено при всеки избор на константите и . С това формулата (7.8) е доказана. ■

Пример 7.23. За функцията да намерим . По формулата на Лайбниц при и имаме

.

Следващите събираеми са нули, понеже всички производни от ред трети и по-висок на функцията са тъждествено нули. Следователно

.

Едностранни и безкрайни производни. По аналогия с едностранните граници могат да се въведат едностранни производни. Ако функцията е непрекъсната отляво (отдясно) в точката и съществува границата

,

то тази граница се нарича лява (дясна) производна на функцията в точката е се бележи с .

Ако функцията е диференцируема в точката , то лявата и дясната производни са равни на стойността на производната в , . Обратното също е вярно, ако една функция има лява и дясна производна в дадена точка и те са равни, то функцията е диференцируема в тази точка. Има функции, за които едностранните производни съществуват и са различни.

Рис. 7.20.

В този случай се казва, че графиката на има ъглова точка за .

Ако границата на диференчното частно е ,

,

то се казва, че функцията има производна в , равна на . Аналогично се постъпва, когато границата е . Пишем или .

Рис. 7.21.

В този случай вертикалната права е допирателна към графиката на .

Има функции, за които в дадена точка и двете едностранни производни са безкрайни, но с различен знак.

Пример 7.27. Да разгледаме функцията в точката (Рис. 7.22).

Рис. 7.22.