Лекция 7 непрекъснатост и производна на функции Множество на реалните числа

Доказателство. Доказателството ще проведем по индукция. При неравенството става очевидно понеже се свежда до . Да допуснем, че е вярно за някое . Ще докажем, че от това следва верността му за стойност на степента . Наистина

.

От доказателството се вижда, че неравенството е строго, когато . ■

Сега да разгледаме редиците

и .

Твърдение 7.5. Редиците и имат следните свойства:

.

Аналогично се доказва, че . Сега можем да напишем

,

т.е. и двете редици са ограничени.

3) Нека . Тогава, според точка 2) имаме

. ■

Твърдение 7.6. Редицата и редицата са сходящи, при което клонят към една и съща граница, чиято стойност се нарича неперово число.

Доказателство. Редицата е сходяща и клони към точната си горна граница , понеже е монотонно растяща и ограничена отгоре, а редицата е сходяща и клони към точната си долна граница , понеже е строго монотонно намаляваща и ограничена отдолу. От друга страна ако положим и , то за тези две множества, съгласно твърдение 7.5, 2), можем да приложим теоремата за отделимост, която заедно с факта

ни дава , т.е. , което доказва твърдението. ■

Общата граница на тези редици (числото на Непер) се бележи с

,

което е ирационално число 2.7182818284590452354... и представлява една от най-важните константи в математиката.

Числото не само е ирационално, но и не се явява корен на нито един полином с цели коефициенти. Такива числа се наричат трансцедентни. Другата най-известна константа в математиката =3.14159265358979323847... също е трансцедентно число. В десетична (и във всяка друга) бройна система, рационалните числа и само те се записват чрез крайна или периодична дробна част, т.е. в техния запис има проста закономерност. При ирационалните числа отсъства такава закономерност.

7. Граница и непрекъснатост на функция. Следващите определения касаят взаимното разположение на точка и множество. Нека и , . Точката се нарича вътрешна за , когато се съдържа в заедно с някоя своя -околност . Точката се нарича външна за , когато е вътрешна за допълнението . Точката се нарича гранична (контурна) за , когато не е нито вътрешна нито външна за . Точката се нарича точка на сгъстяване за , когато всяка нейна -околност съдържа точки от , различни от . Точката се нарича изолирана, когато съществува някаква нейна -околност, която не съдържа други точки от освен .

Една гранична точка може да принадлежи или да не принадлежи на множеството. Точката е външна за , когато съществува някаква нейна -околност , за която . Очевидно всяка изолирана точка е и гранична. От последното определение следва, че всяка точка е или вътрешна или външна или гранична относно дадено множество. Точката е точка на сгъстяване за тогава и само тогава, когато може да се намери редица , за която .

Едно множество се нарича крайно, когато неговите елементи са краен брой и безкрайно, когато неговите елементи са безбройно много. Множеството ,, се нарича отворено, когато се състои само от вътрешни точки. Празното множество също определяме като отворено. Множеството се нарича затворено, когато неговото допълнение е отворено. Множеството , , се нарича компактно, когато е затворено и ограничено. От горните определения следва, че множеството е отворено, точно когато за всяка негова точка съществува някаква нейна -околност , за която . Eдинствените множества, които са едновременно отворени и затворени са цялото и празното множество .

Следващото твърдение характеризира затворените множества.

Произволно обединение на отворени множества е отворено множество. Произволно сечение на затворени множества също е затворено. В общия случай произволно сечение на отворени множества може да не бъде отворено, както и произволно обединение на затворени множества може да не бъде затворено. Сечението на краен брой отворени множества е отворено и обединението на краен брой затворени множества е затворено.

Да припомним, че множеството е компактно, когато е едновременно ограничено и затворено. Следващата теорема има особено важна роля в анализа.

Теорема 7.6. Множеството е компактно тогава и само тогава, когато от всяка негова редица може да се избере сходяща подредица, чиято граница принадлежи на . ■

Тук ще разглеждаме функции , , определени в някакво подмножество на и приемащи реални стойности. Нека е дадена функцията , определена в множеството . Тогава множеството от точки в декартовата равнина от вида , където и се нарича графика на функцията .

Определение 7.5. Нека функцията е определена в някакво множество и се явява точка на сгъстяване за . Числото се нарича граница на функцията при клонящо към (или още граница на функцията в точката ), когато за всяка редица от точки , за която , редицата клони към числото . Пишем .

В горното определение е точка на сгъстяване за , следователно съществуват редици , такива, че всяко и . Да отбележим специално, че функцията не се предполага определена в самата точка .

Съществуването на граница на функция може да се определи в термините на околности на и .

Твърдение 7.8. Числото е граница на функцията при тогава и само тогава, когато за всяко съществува такова, че , винаги когато и . ■

Твърдение 7.8 дава еквивалентно определение за граница на функция в точка и затова самото то може да се разглежда и като определение.

Пример 7.10. Да разгледаме функцията

Рис. 7.7.

определена по следния начин (рис. 7.2)

Да разгледаме точката . Тук имаме , което добре се вижда от рисунката, при което тази граница е различна от стойността на . Както и да се приближаваме към точката , със стойности по-малки от или със стойности по-големи от , се получава една и съща граница .

Пример 7.11. Да разгледаме функцията знак

Рис. 7.3.

и нека отново . В този пример, ако приближаваме със стойности по-големи от , се получава граница , а ако приближаваме със стойности по-малки от се получава граница , което показва, че границата на функцията при не съществува.

Примерите обаче показват, че е целесъобразно понятието граница на функция да се уточни чрез въвеждане на лява и дясна граница. Числото се нарича лява (дясна) граница на функцията при клонящо към , когато за всяка редица от точки , за която , редицата клони към числото . Лявата (дясната) граница, когато съществува, се означава с , . Пишем

.

Тук означението показва, че клони към със стойности по-малки от , а означението показва, че клони към със стойности по-големи от . В последния пример имаме и .

Верността на следното твърдение произтича непосредствено от определенията.

Твърдение 7.9. Нека е точка на сгъстяване за дефиниционното множество на функциите и , и . Тогава:

1) Функцията също има граница в , при което .

2) Функцията също има граница в , при което .

3) Ако , то функцията също има граница в , при което

. ■

Аналогично твърдение е валидно за случая на лява (дясна) граница.

Пример 7.13. Функцията , , няма граница в точката , което добре се вижда от рисунката

Рис. 7.4.

В този пример всяко се явява точка на сгъстяване за стойностите на , когато се мени във всеки интервал , .

Сега сме готови да дадем важното определение за непрекъснатост на функция.

Ако една функция е непрекъсната във всяка точка от дефиниционното си множество , то тя се нарича непрекъсната в .

Функцията се нарича непрекъсната отляво в точката , когато и непрекъсната отдясно, когато . Ако една функция е непрекъсната в , то тя е непрекъсната както отляво, така и отдясно. Когато се казва, че е непрекъсната в интервала се има предвид, че е непрекъсната във всяка вътрешна точка , непрекъсната отдясно в точката и непрекъсната отляво в точката .

При определението за непрекъснатост в точка се иска функцията да бъде дефинирана в тази точка и по този начин определението за непрекъснатост може да се изкаже в следния вид.

Твърдение 7.10. Функцията , определена в множеството , е непрекъсната в точката (Рис. 7.5) тогава и само тогава, когато:

1) За всяка редица от точки , за която , редицата е сходяща и клони към .

2) За всяко може да се намери такова, че , когато . ■

Рис. 7.5.

Твърдение 7.10 се видоизменя по очевиден начин за случаите на едностранна непрекъснатост (отляво или отдясно).

Непрекъснатостта на функцията в точката означава, че лявата и дясната граници на функцията в тази точка съществуват и двете са равни на стойността на функцията в , (Рис. 7.6)

Рис. 7.7.

Когато функцията не е непрекъсната в точката , казваме, че е прекъсната в . За примера от рис. 7.2, функцията е прекъсната в точката , но тук нещата лесно (променяйки само в една точка) могат да "коригират", полагайки , което е общата стойност на лявата и дясната граници. В такъв случай се казва, че функцията се определя по непрекъснатост в точката, където лявата и дясната граници съществуват и техните стойности са равни. Изложеният подход обаче няма да помогне за функцията от примера от рис. 7.3, понеже в този случай .

От определенията за непрекъснатост и от твърдение 7.9 следва, че ако и са непрекъснати в точката , то , и също са непрекъснати в . Аналогично твърдение е вярно и когато и са непрекъснати в някакво множество .

Композицията на непрекъснати функции също е непрекъсната функция. Нека е дадена функцията , която е непрекъсната в точката и да положим . Нека функцията е непрекъсната в точката . Тогава съставната функция е непрекъсната в точката . Наистина, да изберем едно . Тогава съществува такова, че , когато . От друга страна може да се намери такова, че , когато . Тогава, ако , то и следователно . Последното по определение означава, че функцията е непрекъсната в точката .

Функциите, които се получават от променливата чрез краен брой композиции на основните елементарни функции и операциите събиране, умножение и деление се наричат елементарни функции на променливата . Елементарните функции са непрекъснати във всяка вътрешна точка на дефиниционната си област.

Една функция може да бъде непрекъсната, но да не бъде нито ограничена нито равномерно непрекъсната.

Тук ще разглеждаме непрекъснати функции , определени в ограничен затворен интервал . Всеки ограничен затворен интервал е компактно множество. Теоремите за ограниченост и равномерна непрекъснатост на непрекъснати функции са валидни, когато е определена не само над ограничен затворен интервал, а и в случая когато е определена над компактно множество и затова ще ги формулираме по този начин.

Теорема 7.7 (Вайерщрас). Нека функцията е определена и непрекъсната над компактното множество . Тогава е ограничена, при което достига най-голяма и най-малка стойности; съществуват точка и точка , за които

и . ■

Ако една функция е равномерно непрекъсната в множеството , то тя е и непрекъсната във всяка точка от ( е непрекъсната в ), понеже за всяко може да се намери такова, че , когато . Равномерната непрекъснатост означава, че това може да се избере едно също за всяко , докато обикновената непрекъснатост допуска да зависи от .

Ако обаче дефиниционната област на една непрекъсната функция е компактно множество, то тя е и равномерно непрекъсната.