Лекция 7 непрекъснатост и производна на функции Множество на реалните числа

Следователно, ако функцията е определена и непрекъсната в ограничения и затворен интервал , то тя е ограничена и равномерно непрекъсната в и достига най-голяма и най-малка стойност.

Твърдение 7.11. Нека функцията е непрекъсната в интервала , при което в краищата на интервала приема стойности с различен знак, . Тогава може да се намери поне едно , за което . ■

Това твърдение е геометрически очевидно. Графиката на една непрекъсната функция е непрекъсната линия, която в този случай съединява точките и които се намират от различни страни на оста и следователно графиката на ще пресече тази ос в някоя точка (Рис. 7.7).

Рис. 7.7.

От твърдение 7.11 следва

Теорема 7.9 (за междинните стойности). Нека функцията е непрекъсната в интервала . Тогава, за всяко число между и може да се намери поне едно , за което .

Доказателство. Случаят е очевиден, затова да предположим, че . Да разгледаме функцията . Нека и (в противен случай избираме или ). Тогава числата и имат различен знак и съгласно твърдение 7.11 съществува поне едно , за което , т.е. . ■

Теорема 7.8 показва, че стойностите на една непрекъсната функция , запълват целия затворен интервал , където

и ,

понеже е непрекъсната в крайния затворен интервал с краища и , а всяка стойност на се намира в интервала .

Монотонни и обратни функции. Функцията се нарича монотонно растяща (намаляваща) в интервала , когато за всеки , , е изпълнено . Ако неравенствата са строги, то функцията се нарича строго монотонно растяща (намаляваща).

Една монотонна функция притежава лява и/или дясна граница във всяка точка от дефиниционната си област. Например, ако е монотонно растяща в интервала , то за всяко съществуват лявата и дясната граници, при което . В точката съществува дясната граница, при което , а в точката съществува лявата граница при което . Аналогично твърдение но с противоположни неравенства е вярно и за монотонно намаляваща функция. В този случай е непрекъсната в тогава и само тогава, когато .

Нека функцията задава взаимно еднозначно изображение между дефиниционната си област и областта на стойностите . В този случай можем да определим функция , която е обратна на , в по следния начин: ако , за някое , то полагаме . Обратната функция се означава с .

Съгласно определението , за всяко и , за всяко .

Ако една функция е строго монотонна, то тя задава взаимно еднозначно изображение между дефиниционната си област и областта от стойности, следователно притежава обратна.

Теорема 7.10. Нека функцията е непрекъсната и строго монотонна в интервала . Тогава има обратна, определена в затворения интервал с краища и , която също е непрекъсната функция. ■

Теорема 7.10 е валидна по същество и когато дефиниционната област на функцията е произволен интервал, а не само за случая на ограничен затворен интервал.

Полезно е да разграничим някои случаи на прекъснатост, при които поведението на функцията е достатъчно регулярно и може да послужи като основа на други разсъждения.

Тази функция е прекъсната в точката , понеже

.

Точката обаче е точка на отстранимо прекъсване, понеже границата на функцията в тази точка съществува. Полагайки , получаваме функция, която вече е непрекъсната в .

Въведеното току що понятие за отстранимо прекъсване може да бъде използвано в по-широк смисъл. За случая когато функцията притежава граница в , , но в самата точка не е определена, можем да определим по естествен начин в точката , полагайки . Така определената функция се получава непрекъсната в . По този начин функцията , която е определена за всяко , може да се определи допълнително в точката по естествен начин, полагайки .

Прекъсване от първи род. Такова прекъсване е налице, когато лявата и дясната граница на при съществуват но са различни, . В този случай функцията може да бъде непрекъсната само отляво, когато или само отдясно, когато . Такава едностранна непрекъснатост може да се осигури променяйки, ако има необходимост, стойността на . Ако положим , ще получим функция непрекъсната отляво, а ако положим , ще получим функция непрекъсната отдясно.

Прекъсване от втори род. Всяко прекъсване, което не е отстранимо или не е от първи род се нарича прекъсване от втори род.

Идеята за непрекъснатост се явява удобна абстракция за математиката но същевременно отразява и същността на голяма част от заобикалящата ни физическа реалност. Има обаче величини и процеси, чиято вътрешна природа по естествен начин ги прави прекъснати в определен смисъл. Математическите модели за прекъснати величини се отличават с висока степен на трудност.

Тук ние ще боравим само с функции, които са определени и непрекъснати в някакъв краен брой интервали. За да притежават тези функции достатъчен запас от съдържателни свойства е необходимо обаче те да бъдат не само непрекъснати, но и да притежават определен брой производни, което ще бъде разисквано в следващите лекции.

3. Производни. Някои основни граници. Тук ще опишем някои основни граници, с помощта на които по-нататък ще изведем производните на основните елементарни функции.

Ще докажем, че

(7.1) .

Нека . Да разгледаме окръжност с център и радиус , както е показано на рис. 7.8, и . Тогава лицето на триъгълник е по-малко от лицето на сектора , което от своя страна е по-малко от лицето на правоъгълния триъгълник (Рис. 7.8)

Рис. 7.8.

Сега от формулите за лице на триъгълник и сектор имаме

,

следователно

.

Като разделим на всеки член на последното неравенство, получаваме

,

откъдето, чрез лемата за двамата полицаи, получаваме (7.1), понеже функцията е непрекъсната и .

Вече изведохме границата

, следователно ,

където е основата на натуралния логаритъм. От нея, след смяна на променливата , получаваме следната граница

(7.2) .

След логаритмуване на съотношението (7.2), отчитайки непрекъснатостта на логаритмичната функция, получаваме

(7.3) .

Да положим , т.е . Ако клони към нула то и клони към нула и освен това. От (7.3) имаме , следователно , което дава следната основна граница

(7.4) .

Да разгледаме функцията . Имаме

,

следователно

(7.5) .

Производна на функция. Нека функцията е определена в околност на точката . Нека е някакво нарастване (промяна) на аргумента, което води до нарастване на функцията . Отношението

(7.6)

се нарича диференчно частно на в точката .

Определение 7.7. Нека съществува границата на диференчното частно (7.6) при . Тогава нейната стойност се нарича производна на функцията в точката и се бележи с .

С други думи

.

,

откъдето намираме

,

следователно, ако , то .

Производната има ясен геометричен смисъл (Рис. 7.9).

Нека е точката с координати , , а има координати . Правата през точките и , която е секуща за графиката на , има уравнение

.

След граничния преход при , секущата преминава в допирателната към графиката на функцията за точка , с уравнение

(7.7) .

Следователно, ако функцията има производна в , то в тази точка съществува допирателна към графиката на , при което въпросната допирателна има уравнение (7.7). Този извод трябва да се схваща като определение за допирателна. От геометричната конструкция се вижда, че за ъгловия коефициент на допирателната е изпълнено .

Чрез символа ще означаваме величина, за която (чете се "о малко").

Определение 7.8. Нека функцията е определена в някаква околност на точката , при което нарастването може да се представи във вида , където е константа ( не зависи от ). Тогава се казва, че е диференцируема в , а произведението се нарича диференциал на в и се бележи с .

По този начин , където .

Теорема 7.11. Функцията е диференцируема в точката тогава и само тогава, когато има производна в , при което производната и диференциала са свързани с формулата .

Доказателство. Нека е диференцируема в . Тогава за диференчното частно имаме

,

следователно

,

което означава, че и . Обратното (също) е очевидно.

В частност, за имаме и , следователно , което обосновава следното означение за производна

и .

От формулата за производна следва, че ако е диференцируема в точката , то , в околност на и малко се отличава от линейна функция в тази околност, което съставлява смисъла на определението да бъде диференцируема. Теорема 7.11 показва, че условията да бъде диференцируема и да има на производна са еквивалентни.

Казва се, че е диференцируема в интервала , когато е диференцируема във всяка точка от този интервал.

Верността на следващото твърдение следва непосредствено от определенията.

От непрекъснатостта на една функция в дадена точка обаче не следва, че тя е диференцируема.

Съществуват по-сложни примери за функция, която е определена и непрекъсната за всяко , но няма производна в нито една точка.

.