Лекция 7 непрекъснатост и производна на функции Множество на реалните числа

.

.

Доказателство. 1) Да положим и да разгледаме диференчното частно на . Имаме

следователно

следователно

Формулата за диференциране на частно се доказва по аналогичен начин. По нататък ще приведем още едно доказателство на тази формула въз основа на известната вече формула за диференциране на произведение и верижното правило за диференциране на съставни функции. ■

Пример 7.20. Ако , то

,

и ако , то

.

Ако функцията е константа, , то нейната производна е навсякъде равна на нула, което веднага се вижда от определението, понеже всичките диференчни частни на са нули. Сега от правилото за диференциране на произведение следва, че ако е диференцируема и е константа, то функцията също е диференцируема, при което . От тук и от твърдение 7.12 следва, че всяка линейна комбинация от диференцируеми функции също е диференцируема, при което производната е съответната линейна комбинация от производни,

което означава, че диференцирането е линейна операция. Начинът за диференциране на произведение обаче силно отличава диференцирането от други линейни операции. Прилагайки последователно правилото за диференциране на произведение на две функции получаваме

,

което лесно се обобщава за повече на брой множители.

Пример 7.20. Ако , то

.

Следващото твърдение касае правилото за диференциране на съставни функции.

Твърдение 7.14 (верижно правило). Нека функцията е диференцируема в точката , а функцията е диференцируема в точката и . Тогава съставната функция е диференцируема в точката , при което .

Доказателство. Означаваме , и . Да разгледаме диференчното частно на в точката ,

Функцията е непрекъсната в , понеже е диференцируема, следователно нарастването клони към нула при . От горното представяне следва

,

което доказва твърдението. Тук, за да спестим технически усложнения, мълчаливо предполагахме, че се разглеждат само нараствания . ■

Пример 7.21. Ако , то

.

При извеждане производните на обратните тригонометрични функции ще използваме факта, че ако една диференцируема функция има обратна, то обратната също е диференцируема.

Твърдение 7.15. Нека функцията е строго монотонна и диференцируема в интервала . Тогава нейната обратна (която съществува и е непрекъсната) е диференцируема, при което ■ ■

Формулата за производната на обратната функция се получава от верижното правило след диференциране на тъждеството .

Експоненциална и логаритмична функция. Нека . Тогава

Сега от основната граница (7.4) получаваме

,

следователно, ако , то . Експоненциалната функция съвпада със своята производна. Такова свойство има и всяка функция от вида , където е константа.

Нека , . Тогава

.

Сега от основната граница (7.3) получаваме

,

следователно ако , то . Производната на може да бъде изведена въз основа на факта, че функциите и са взаимно обратни, което означава, че са валидни тъждествата за всяко и за . Като диференцираме тъждеството получаваме , следователно , откъдето като положим , получаваме .

Общата показателна функция (Рис. 7.10) , , се определя чрез експоненциалната, , следователно .

Рис. 7.10.

За логаритмичната функция (Рис. 7.11) при произволна основа

Рис. 7.11.

имаме , следователно .

Степенна функция. Нека , . Тук е произволно реално число. Степенната функция (Рис. 7.12) се определя чрез експонента и логаритъм по следния начин .

Рис. 7.12.

Да отбележим специално, че в общия случай степента , където и са някакви величини също се определя по този начин, . От верижното правило имаме

,

следователно, ако , то . Може да се докаже, че тази формула е валидна и в случаите, когато степента позволява функцията да се разглежда и за .

Пример 7.22. Ако , то и ако , то .

Последното заедно с верижното правило ни дава друго доказателство на правилото за диференциране на частно. Имаме

.

От друга страна , следователно

Рис. 7.13.

За функцията имаме

.

Сега от основната граница (7.1) получаваме

следователно ако , то .

Нека . Тогава , следователно съгласно верижното правило

,

следователно ако , то .

Производните на функциите и (Рис. 7.14) се получават като следствие. Нека , , . Тогава

.

Рис. 7.14.

Аналогично намираме, че ако , , , то .

Обратни тригонометрични функции. 1) Функцията . Тази функция се определя като обратна на функцията в интервала , където е строго растяща и следователно притежава обратна (Рис 7.15).

Рис. 7.15.

Ако , за някое , , то по определение . По този начин функцията е определена в интервала и приема стойности в интервала . Например, , , и т.н. Функцията е нечетна и нейната графика е изобразена на рис. 7.17.


Рис. 7.17.

Функциите и са взаимно обратни, следователно са изпълнени тъждествата за и за (последното се получава от изискването да бъде стойност на ). Да диференцираме тъждеството . Съгласно верижното правило получаваме

.

Да положим . Имаме , понеже за . Сега от горното равенство намираме

,

следователно, ако , то .

2) Функцията . Тази функция се определя като обратна на функцията в интервала , където е строго намаляваща и следователно притежава обратна. Ако , за някое , , то по определение . По този начин функцията е определена в интервала и приема стойности в интервала . Например, , , и т.н. Графиката на функцията е изобразена на рис. 7.17.

Рис. 7.17.

Функциите и са взаимно обратни, следователно са изпълнени тъждествата за и за (последното се получава от изискването да бъде стойност на ). Да диференцираме тъждеството . Съгласно верижното правило получаваме

.

Да положим . Имаме , понеже за . Сега от горното равенство намираме

,

следователно, ако , то .

3) Функцията . Тази функция се определя като обратна на функцията в интервала , където е строго растяща и следователно притежава обратна. Ако , за някое , , то по определение . По този начин функцията е определена в интервала и приема стойности в интервала . Например, , и т.н. Функцията е нечетна и нейната графика е изобразена на рис. 7.18.

Рис. 7.18.

Функциите и са взаимно обратни, следователно са изпълнени тъждествата за всяко и за (последното се получава от изискването да бъде стойност на ). Да диференцираме тъждеството . Съгласно верижното правило получаваме

.

Да положим . Имаме . Сега от горното равенство намираме

,

следователно, ако , то .

Граничните съотношения

и

дават основания да положим

и .

4) Функцията . Тази функция се определя като обратна на функцията в интервала , където е строго намаляваща и следователно притежава обратна. Ако , за някое , , то по определение . По този начин функцията е определена в интервала и приема стойности в интервала . Например, , и т.н. Графиката на функцията е изобразена на рис. 7.19.

Рис. 7.19.

Функциите и са взаимно обратни, следователно са изпълнени тъждествата за всяко и за (последното се получава от изискването да бъде стойност на ). Както в предишната точка намираме, че ако , то .

Граничните съотношения и дават основания да положим и .

5. Производни и диференциали от по-висок ред. Втората производна на функцията се определя като първа производна на , третата производна се определя като първа производна на и т.н. Например, ако , то , , , и т.н. За -та производна на понякога е удобно да се използва означението , , при което по определение нулевата производна на съвпада със самата , . Вторият диференциал се определя като първи диференциал на и т.н. Без да правим уточнения за целесъобразността на това определение полагаме , , като полагаме .

За втората производна на произведение на функциите и имаме

което наподобява познатата формула . Тази аналогия е закономерна и за производни от по-висок ред.

Да припомним биномната формула на Нютон. За всеки две величини , и всяко цяло неотрицателно число е изпълнено равенството

където са биномните коефициенти. По определение . Биномните коефициенти са симетрични, , . Символът , , означава произведението на всичките естествени числа от до , например . По определение .