Яне на многокомпонентни системи
Алгоритъм на Naftali-Sandholm
Изтегляне 2.42 Mb.
|
Алгоритъм на Naftali-SandholmВходни данни Начално приближениe е Фазoво равновесие Изразяване дебита на течните потоци чрез обобщени променливи 1 НЕ ДА - Печат 3.4.2.3. Квазинютонови методи за изчисляване на многокомпонентна ректификация метод на бройден. Основните недостатъци на метода Нютон-Рафсон се свеждат до следните два: 1. При значителни размери на матрицата на Якоби, особено, ако нейните членове се формират чрез числово диференциране, формирането на Якобиана изисква значителна изчислителна работа, а ако и компютърът не е особено бърз - продължително изчислително време. 2. Методът Нютон-Рафсон води толкова по-сигурно и по-бързо към крайното решение, колкото началното приближение е по-близо до него. Резултатът от поредната итерация, обаче, може и да отдалечава от вместо да приближава към крайното решение, ако началното приближение е твърде произволно, твърде далеч от решението. Това е и основанието за извод, че методът на Нютон-Рафсон е капризен, спрямо началното приближение, той показва добра локална (в близост до решението) и лоша глобална (далеч от решението) сходимост. Първият от тези недостатъци се преодолява в повечето случаи успешно от т.нар. квазинютонови методи, същността на които е, че те предвиждат матрицата на Якоби да не се формира за всяка поредна итерация, а веднъж на няколко поредни итерации. При останалите итерации в изчисленията се използува приближена стойност на Якобиана (по-точно на неговия обърнат вид H = [-J-1], като апроксимацията за дадена итерация се прави на базата на матрицата на Якоби от предходната итерация. Апроксимацията означава, че при поредна итерация приблизителната стойност на елементите на Якобиана се формират не чрез диференциране, а по приблизителен, опростен (и следователно по-бърз) начин. Апроксимираният Якобиан е отклонен от истинския и, ако апроксимирането става с помощта на предишен и също апроксимиран Якобиан, отклонението на елементите на Якобиана от действителните им стойности след поредната итерация, става все по-голямо. В резултат, след серия итерации погрешността на функциите fji, qji, sj започва все по-слабо или въобще престава да намалява. Това е сигнал, че трябва наново да се формира матрица на Якоби чрез диференциране, след което да започне отново серията от поредни апроксимации. Вторият недостатък е по-трудно преодоляем. Един от начините за борбата срещу лошата сходимост е, ако корекцията, типична за метода на Нютон-Рафсон, се измени чрез въвеждане в нея на т.нар. затихващ или смекчаващ (DAMP) фактор S(k). При това положение коригираните стойности се пресмятат по модифицираната зависимост: (В случая xe е обозначение за уточнявана променлива, която може да представлява концентрация, дебит или температура). DAMP факторът е число по-малко от единица и има за задача да намали размера на корекцията, т.е. да смекчи предвижданото по метода Нютон-Рафсон изменение на променливите с цел те да не получат абсурдни стойности, или такива, които влошават сходимостта. Друг начин за борба срещу лошата сходимост е, ако точното изчисление по метода на Нютон-Рафсон се предхожда от предварително, макар и с приближена точност и по възможност неитеративно пресмятане на стойностите на променливите по т.нар. "директни" ориентировъчни short-cut)\ ( методи, които вече разгледахме в предходен раздел на настоящия курс. Получените по този начин приближени резултати могат да се използуват като "добро", т.е. близко до решението начално приближение за изчисление, по който и да е от итеративните, точни методи (например метод на WANG - HENKE, NAPHTALI - SANDHOLM и др). Повечето от тези идеи и усъвършенствувания се използуват от съвременните квазинютонови методи. От тях особено внимание заслужава т.нар. метод на BROYDEN. Последният е по същество числов метод Нютон-Рафсон, но с апроксимация на якобиановата матрица, създаден за итеративно търсене на решението на система от нелинейни зависимости, каквато по същество представлява и математичното описание на многокомпонентния ректификационен процес. Алгоритъм на метода на Бройден (фиг. ): Началните етапи, т.е. етапите на оформянето на т.нар. начално приближение са идентични с тези на метода Нютон-Рафсон и Ванг-Хенке. Етап 1: Веднага след въвеждането на входните променливи, при първата итерация k = 1 се полагат стойностите за още две величини, а именно: xk = 1 и Sk = 1. Целесъобразно е по-нататък използуването на обобщени символи относно различните типове функции и променливи. Например, трите вида функции на погрешност, посочени в метода Naftali-Sandholm: Те могат да се изразят с общото обозначение където: е - пореден номер на функцията к - номер на поредната итерация. Съответно, и трите вида уточнявани променливи xji, tj, Vj могат да се изразят като Понеже при поредна итерация стойностите на уточняваните променливи са приближени, то и стойностите на функциите на погрешността са ненулеви и равни на съответните погрешности ) които са също N(Nc+2) на брой. Ако стойностите на функциите .е са известни, то винаги може да се изчисли стойността на обобщената функция В случая Fk е векторна величина, характеризираща тоталната сумарна погрешност на изчислението на н-та итерация. За да е налице сходимост на итеративния процес, очевидно е необходимо: Fk+1 < Fк , т.е. факторът да бъде винаги число по-малко от 1. Стойности на близки до единица означават, че сходимост все още съществува, но че тя е бавна и неефективна. На Изтегляне 2.42 Mb. Сподели с приятели:
|