Ортогонални Сигнали. Обобщен ред на Фурие

Ортогонални Сигнали. Обобщен ред на Фурие.
Ортогонални сигнали – 2 сигнала, u v, са ортогонални, ако тяхното скаларно произведение и взаимната им енергия са равни на 0(1.1), т.е. те са независими.
1.1 (u,v) = ^_- u(t)v(t)dt =0 изразява приликата м/у първият и вторият сигнал
Ортогоналните сигнали се използват при анализ на сложни сигнали или синтез на система от сигнали.При анализа се извършва разлагане на един сложен сигнал на сума от по-прости и независими сигнали, а при синтеза се създава с-ма от сигнали, като с това се осигурява по-голяма достоверност на информацията.
(u,v) = |u||v|.cosФ = 0
В многомерното пространство на сигналите може да се разгледа система за ортогонални сигнали. В този случай за всяка една(която и да е) двойка сигнали трябва да е изпълнено условието за ортогоналност.
{u₁,u₂,u₃…u_n} -- [t1,t2] - набор на базовите функции
(u_{i , ,}u_j) = Km, за i=j, 0, za i !=j. Km е число съответстващо на собствената Енергия на сигнала.
Кm=Eu при i=j =>U_i=U_j, тогава (Ui,Ui) = ^_-u²(t)dt.
При Km=1 (U_i,U_j)= {1 , при i=j ;
0, при i≠j} (3) ортогонален базис
Обобщен ред на Фурие - Разглеждаме {U1,U2,...,Un}, която отговаря на (3) и е ортогонален базис. Един сложен сигнал S(t) се представя като линейна комбинация от прости сигнали.
S(t)=  ^_i=0 Ci.li; li->вектори{U1,U2,...,Un}
S(t)=  ^_i=1 Ci.Ui(t) - обобщен ред на Фурие.
При решаване на конкретни задачи, S(t) и U(t) са зададени и се търсят коефициентите С = ? като i=1,2,3,4…n За решението използваме базисната функция Un(t)
S(t)=  ^_i=1 Ci.Ui(t) /*Uk(t)
^t2_t1Uk(t)S(t) dt =  ^_i=1 Ci ^t2_t1Ui(t).Uk(t)dt
Тъй като сигналите са ортогонални – ще остане само членът с номер i=k (U:Uk != 0)
Ck= ^t2_t1Uk(t)S(t) dt / ^t2_t1Uk(t)² dt
Ако системата е ортогонална е изпълнено условие (3) => Ck= ^t2_t1Uk(t)S(t) dt