Тема на дисертацията „Неинтегруемост в смисъл на Лиувил на някои уравнения на Пенлеве от по-висок ред в област на висше образование Природни науки, математика и информатика

по Дисертация за получаване на образователна и научна степен „Доктор“

1. 
   Обща характеристика на дисертационния труд. Дисертацията е посветена на активно разработвана тема вече цяло столетие от теорията на хамилтоновите системи – доказателства за неинтегруемост на важни уравнения от математиката и математическата физика. Едновременно с това тя може да се разглежда и като принос в теорията на уравненията от тип на Пенлеве. Последните, предвид изключителната им важност за приложенията, от доста време се считат за главните представители на нелинейните специални функции.
   

2. 
   Приносите на докторанта са доказателства за неинтегруемост на някои висши уравнения на Пенлеве и на стационарните решения на уравнението, описващо Бозе-Ферми смес в едномерна оптична решетка. Докторантът си служи с изключително нетривиален апарат, съчетаващ диференциалната теория на Галоа и теорията на специалните функции. От своя страна диференциалната теория на Галоа се прилага с помощта на теория, развивана в продължение на повече от век и намерила окончателния си вариант в забележителната теория на Моралес-Руиз и Рамис. Тази теория свежда пресмятането на групите на Галоа до пресмятането монодромията или на матриците Стокс за различни обощени хипергеометрични уравнения. Именно тук се появява теорията на специалните функции.
   

Оригиналните резултати на докторанта са в глави 2 и 3. В Глава 2 основните резултати са неинтегруемост на уравнения със свойството на Пенлеве от класификацията на Косгроув, както и по-висши членове на йерархията на Пенлеве-2. Глава 3 е посветена на важното уравнение, описващо Бозе-Айнщайн смеси. За това уравнение са намерени множество решения от Костов, Герджиков и Вълчев. Тук се работи с различни техники. Освен диференциалната теория на Галоа се използва вкл и знаменитият метод на разцепване на комплексните сепаратриси.

3. 
   Авторът е показал завидно познаване на литературата, както класиката, така и съвсем съвременни изследвания, които отлично прилага в своите конструкции. Освен вече споменатата диференциална теория на Галоа и теорията на Моралес-Руис и Рамис той ползва изключително фините резултати на един водещите специалисти в теорията на числата Н. Кац, резултатите на Мазоко-Ю върху хамилтоновата структура на висшите уравнения на Пенлеве и др. Също правят много добро впечатление коментарите му по недостатъчно подредената в световен мащаб теория на специалните функции и уравненията от типа на Пенлеве.
   

4. 
   Трудовете участвуващи в дисертацията са публикувани съвместно с О. Христов както следва: 1 статия в Chaos, Solitons and Fractals (Импакт Фактор = 1.5); 1 статия в SIGMA (Импакт Фактор =  1.245) , 1 статия в Mech. Trans. Comm и една статия в AIP Conf. Proc. Ще отбележа, че двете списания с ИФ са изключително реномирани, особено в областта на нелинейните уравнения. Както се вижда кандидатът има отлични публикационни данни за дисертация по математика. Освен това част от резултатите са докладвани на конференции в България, Испания и Колумбия. Лично аз съм слушал на ръководения от мене семинар по „Динамични системи и теория на числата“ изложение на някои от резултатите от трета глава, които направиха отлично впечатление на слушателите.
   
5. 
   Критични бележки: Има дребни неточности изписването на някои имена, както и на известни уравнения. Това, разбира се, са дреболии и го казвам като съвет за бъдеща работа, а не като омаловажаващи постиженията.
   
6. 
   Лични впечатления за кандидата: Познавам Георги Георгиев от студентските му години. Той беше студент с изявени математически интереси. Бил съм ръководител на неговата дипломна работа, която е публикувана. По-късно станах и негов научен ръководител. За мое съжаление, не успях да намеря подходяща тема за неговите интереси, а често сменям темите си. Това, което не успях да свърша, беше направено от доц. О. Христов, който намери подходяща тема, запали го и работата им тръгна.
   

7. 
   Заключение: В дисертацията на Георги Георгиев са получени важни резултати в много активно разработвана област на математиката и математическата физика. Освен това, предвид овладяната трудна и разнообразна техника, считам, че тя е основа на бъдеща още по-мащабна работа. На това основание препоръчвам на Научното жури да присъди на Георги Георгиев образователната и научна степен „доктор“.
   

Дата: 09.09.2015 г.