11. Линейни изображения.
Нека V, V са две линейни пространства над едно и също поле F;
казваме, че е изображение на V във V, ако на всеки елемент
x V e съпоставен единствен елемент (x) V;
бележим : V V;
две изображения и наричаме равни ( = ), ако (x) = (x) за всяко x V;
е линейно изображение, ако
-
за всяко x V и всяко F е изпълнено (.x) = . (x);
-
за всеки x, y V e изпълнено (x+y) = (x) + (y);
еквивалентна дефиниция е:
за всеки x, y V и за всеки , F e изпълнено
(.x+.y) = . (x) + . (y);
Ако V V, т.е. e линейно изображение на V в себе си, тогава се нарича линеен оператор;
Примери:
за всяко линейно пространство V нека : V V дефинирано с
(x) = за всяко x V; тогава е линейно изображение на V в себе си, нарича се нулево изображение (нулев оператор);
за всяко линейно пространство V нека : V V дефинирано с
(x) = x за всяко x V; тогава е линейно изображение на V в себе си, т.е. линеен оператор; се нарича единичен оператор;
означава се, че = id, т.е. е идентитет;
нека V = R[x]; нека : V V дефинирано с ( f(x) ) = f (x) за всеки полином f (x) V; в такъв случай е линеен оператор на V;
нека V = Fnxn; нека : V V дефинирано с ( А ) = Аt за всяка матрица A V; в такъв случай е линеен оператор на V;
проверка: (.A + .B) = (.A + .B)t = .At + .Bt = . (A) + . (B) и това е изпълнено за всеки две матрици A, B V и всеки два скалара
, F;
Свойства: Нека : V V е линейно изображение; тогава
-
() = , където e нулевият вектор на V, е нулевият вектор на V; доказателство: () = (0.) = 0. () = ;
-
(-x) = - (x) за всяко x V; доказателство: от определението за линейно изображение при = -1;
-
ако a1, a2, …, ak V е линейно зависима система, то
(a1), (a2), …, (ak) също е линейно зависима система; доказателство: a1, a2, …, ak – линейно зависими съществуват 1, 2, …, k F, не всичките нули, такива че
1.a1 + 2.a2 + … + k.ak = = () =
(1.a1 + 2.a2 + … + k.ak) = 1. (a1) + 2. (a2) + … + k. (ak);
тъй като не всичките i са нули (a1), (a2), …, (ak) също са линейно зависими;
Твърдение: Нека V, V са линейни пространства над полето F;
dimV = n (< ); тогава за всеки базис e1, e2, …, en на V и всяка
n-орка вектори v1, v2, …, vn V съществува единствено линейно изображение : V V, такова че (ei) = vi за всяко i = 1, 2, …, n;
Доказателство:
за всяко x V съществува еднозначно изразяване на x чрез базиса:
x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en; нека дефинираме изображение : V V, такова че (x) = 1.v1 + 2.v2 + … + n.vn за всяко x V; тази дефиниция е коректна, тъй като за всеки вектор x V съществува единствен вектор (x) – това е така поради единствеността на координатите на x;
за всяко i = 1, 2, …, n имаме, че (ei) = vi;
нека y V, y = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en; нека , F
(.x + .y) = ( (.1 + .1).e1 + (.2 + .2).e2 + … + (.n + .n).en) =
(.1 + .1).v1 + (.2 + .2).v2 + … + (.n + .n).vn =
.(1.v1 + 2.v2 + … + n.vn) + .(1.v1 + 2.v2 + … + n.vn) =
. (x) + . (y) е линейно изображение;
нека е линейно изображение, : V V и
(ei) = vi за всяко i =1, 2, …, n;
тогава за всяко x V имаме: x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en V
(x) = 1. (e1) + 2. (e2) + … + n. (en) = 1.v1 + 2.v2 + …n.vn =
= (x), тъй като i са едиствените координати на x спрямо базиса
e1, e2, …, en = ;
: V V е биекция, т.е. взаимноеднозначно изображение ако:
-
за всяко x V съществува x V, такъв че (x) = x (т.е. е сюрекция);
-
за всeки x, y V от x y (x) (y) (т.е. е инекция);
ако съществува биекция : V V казваме, че V и V са равномощни;
Дефинираме изображение -1: V V с -1 (x) = x, където
x V и x V е един вектор за който (x) = x;
ако е линейно изображение и биекция -1 също е линейно изображение;
Ако изображението : V V е линейно и биективно, казваме че е изоморфизъм на V върху V; тогава съществува единствено изображение -1: V V и то също е изоморфизъм нa V върху V;
в такъв случай V и V се наричат изоморфни линейни пространства;
означение V V;
Твърдение: Ако : V V е изоморфизъм и a1, a2, …, ak V е линейно независима система, то (a1), (a2), …, (ak) също е линейно независима система във V;
Доказателство:
Нека 1, 2, …, k F и 1. (a1) + 2. (a2) + … + k. (ak) =
(1.a1 + 2.a2 + … + k.ak) = () 1.a1 + 2.a2 + … + k.ak = , тъй като е биекция 1 = 2 = ... = k = 0, тъй като a1, a2, …, ak са линейно независими (a1), (a2), …, (ak) също са линейно независими;
Теорема: Две крайномерни линейни пространства V и V са изоморфни тогава и само тогава, когато dimV = dimV;
Доказателство:
Нека V и V са изоморфни съществува биективно линейно изображение (изоморфизъм) : V V; нека n = dimV, n = dimV;
нека e1, e2, …, en е базис на V; от горното твърдение
(e1), (e2), …, (en) са линейно независими вектори във V
n n; (1)
нека e1, e2, …, en е базис на V;
тъй като -1: V V също е изоморфизъм, от горното твърдение
-1 (e1), -1 (e2), …, -1 (en) са линейно независими вектори във V
n n; (2)
от (1) и (2) n = n;
Нека dimV = dimV = n;
oт по-предното твърдение:
нека e1, e2, …, en е базис на V; e1, e2, …, en е базис на V;
тогава изображението : V V дефинирано с
(x) = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en за всяко x V, където i са координатите на x във V, e линейно изображение;
ще проверим, че е биекция на V върху V;
очевидно всеки вектор x V, x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en е образ на вектор x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en V е сюрекция; (1)
нека x, y V, x y и
x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en, y = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en;
да допуснем, че (x) = (y)
1.e1 + 2.e2 + … + n.en = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en
1 = 1, 2 = 2, …, n = n, тъй като e1, e2, …, en са линейно независими вектори x = y – противоречие (x) (y)
е инекция; (2)
от (1) и (2) е биекция e изоморфизъм на V върху V V V;
Нека n N, F – поле; известно е, че Fn е линейно пространство над F и dimFn = n;
Следствие: Всяко n-мерно линейно пространство V e изоморфно на Fn, т.е. с точност до изоморфизъм за всяко n N същестува единствено n-мерно линейно пространство и това е Fn;
в n-мерното линейното пространство V с базис e1, e2, …, en всеки вектор x V може да се представи по единствен начин като
1.e1 + 2.e2 + … + n.en, където i F; тъй като (1, 2, …, n) Fn, линейното изображение, което изпраща всеки вектор x V във наредената n-орка от координатите му, която е от Fn е изоморфизъм;
Сподели с приятели: |