Задачи от действия с матрици Съдържание



Дата01.02.2018
Размер32.47 Kb.
#52306
ТипЗадача


§2. Задачи от действия с матрици
Съдържание

1. Алгебрични действия с матрици

2. Намиране на обратна матрица

3. Решаване на матрични уравнения


ТЕОРИЯ

Матрица от тип се нарича таблицата от реда и стълба



Прието е матриците да се означават с големи латински букви, а елементите и с едноименни малки латински букви. Дадената матрица в дефиницията се означава още с . Две матрици се наричат еднотипни ако имат съответно равни брой редове и брой стълбове. Ако в матрицата A елементите от редовете наредим като елементи на съответен номер стълбове се получава нова матрица, която се нарича транспонирана на дадената и се бележи с . Две еднотипни матрици могат да се събират по правилото



.

Матрицата A се умножава с числото по правилото . Две матрици и в този ред се наричат съгласувани за умножение "ред по стълб" ако броят на стълбовете на първата матрица A е равен на броя на редовете на втората матрица . Нека матрицата има тип , а матрицата има тип . В този случай произведението има тип и се определя по формулата



,

където е броят на стълбовете на матрицата .

Обратна матрица на квадратната матрица съществува, когато и се намира по формулата

,

където е адюнгираното количество на елемента .



ЗАДАЧИ

Задача 1. Да се намери сбора F+G и разликата , ако

и .

Решение.

, .
Задача 2. Дадени са матриците

, , и .

Да се пресметнат произведенията , и .



Решение.

Правилото "ред по стълб дава" съответно







Забележка. Решението на задачата показва, че за разлика от действие умножение на числа, действие умножение на матрици има някои особености.

1. Произведението е нулева матрица, а множителите и не са нулеви матрици.

2. , но от това не следва, .
Задача 3. Да се намери обратната матрица на матрицата



Решение. Пресмятаме първо

,

а след това и адюнгираните количества на елементите на детерминантата на дадената матрица. Получаваме



















Следователно



.

Решение на задачата може да се направи и по метода на Гаус-Жордан, според който ако запишем отдясно на дадената матрица единична матрица от трети ред и с елементарни преобразувания направим така, че на мястото на дадената матрица да се получи единична матрица, то на мястото на единичната матрица ще се получи обратната матрица на дадената, т.е от матрицата с елементарни преобразувания получаваме.

За горната задача имаме

.

Умножаваме първия и ред с и прибавяме съответно към елементите на втория и към елементите на третия ред. Получава се



.

Разменяме местата на трети и втори ред и новият втори ред умножаваме с . Получава се



.

Умножаваме втория ред с 2 и прибавяме към първия, а след това умножаваме втория ред с и го прибавяме към третия. Получава се


.

Умножаваме третия ред с 1 и го прибавяме към първия ред. Получава се



Следователно





Задача 4. Да се решат матричните уравнения

4.1.

4.2.

Решение на 4.1. Решаваме уравнението по Метода на Гаус-Жордан по схемата. Прилагайки елементарни преобразования намираме последователно





Следователно

.

Решение на 4.2. Уравнението е от вида и решението му е , когато съществува обратната матрица . По метода на Гаус-Жордан за намиране на получаваме


Следователно



.




Сподели с приятели:




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница