4. 2 Активност: Глобални и локални екстремуми Съдържание на активността
Изтегляне 190.49 Kb.
|
| 4.2 Активност: Глобални и локални екстремуми
Съдържание на активността: Настоящата активност въвежда понятията глобален и локален екстремум. Цели на активността: Чрез активността ние очакваме, че студентите: Ще могат отначало да усвоят интуитивния подход към понятията глобален и локален екстремум, след което да бъдат доведени до формалната дефиниция на тези понятия. Ще могат да разсъждават върху горните понятия, създавайки с помощта на софтуера някои примери и контрапримери, разглеждащи различни случаи на глобални и локални екстремуми. Ще могат да изяснят връзката между понятията локален и глобален екстремум, както и факта, че такива екстремуми може ида не съществуват, или, ако съществуват, да не са единствени.
Логическата структура на активността е следната: На първата стъпка (4.2.1), тръгвайки от задачата за числеността на стадо елени, се представя необходимостта от намиране на локалните и глобални екстремуми. Следва интуитивното им разпознаване върху графика на функцията, както и приблизителното им намиране. Въвеждането на дефинициите се постига чрез формализиране на ситуацията, възникваща в конкретния пример. Във втората стъпка (4.2.2) тези понятия, както и отношенията между тях, се изследват подробно с помощта на различни примери и контрапримери, получени чрез софтуера.
При съществуващата учебна програма активността може да се провежда с ученици от 11 и 12 клас. Подробното изследване на всички случаи на екстремум може да бъде проведено на нивото на училищния курс по Математически Анализ, но може да бъде пригодено и за нуждите на студентите от първата година на университета. Времето, необходимо за провеждане на активността, е приблизително един учебен час. 4.2.1 Работен лист (Анализ) Използване на графиката на функция за въвеждане на понятията локален и глобален екстремум ЗАДАЧА Предвижданата численост  (в хиляди) на стадо елени се описва приблизително с функцията  за  , където  са годините между 1/1/2000 и 31/12/2010.
Природозащитна агенция се интересува в кой момент от периода числеността на елените ще достигне своя максимум, а в кой момент – минимума си. Въпросът се отнася до понятието екстремум. Отворете файла 4.2.1.activity.en.euc и натиснете бутона Graph (Графика), за да видите графиката на функцията , като точката 0 на оста x отговаря на началото на година 2000.
За спестяване на време файлът е даден на учениците в готов вид. Графиката дава представа за промяната на численността във всеки момент. На това може да се базира дискусия за възможностите на графичното представяне на процесите за по-добро разбиране на нещата. При използване на бутона Point – Coordinates (Точка - Координати) за точката M върху графиката на функцията се появяват нейните координати. Вие можете да променяте нейната абсциса В1: Има ли момент, в който числеността на стадото елени е максимална? Ако има, кога е бил и каква е била численността на елените тогава? Желателен е интуитивен подход, с помощта на софтуера, от страна на учениците към понятието глобален екстремум. За тази цел може да се използва опцията Line y = k . Очаква се учениците да забележат, че когато съответната права минава през екстремалната стойност на функцията, това е единствената пресечна точка на правата с графиката на функцията в някаква околност на екстремалната точка. Следващият въпрос цели формалната дефиниция на глобален максимум. В2: Да означим с  момента, споменат в В1. Нека . По какъв начин са свързани  и  ?
Желателно е учениците да бъдат доведени до понятието глобален максимум. Казваме, че в точката  функцията достига глобален максимум.
В3: Опитайте да допълните следната дефиниция: Дефиниция: Нека  е функция с дефиниционна област Α.
достига глобалния си максимум  в точката на Α, ако…………
Очаква се учениците да дадат формалната дефиниция с помощта на учителя. Нека А е множество . «Казваме, че функцията  достига глобален максимум в точката  , ако  за всяко  ».
Следващият въпрос се отнася до аналогичното понятие глобален минимум. В4: Има ли момент, в който числеността на стадото елени е минимална? Ако да, кога е бил този момент и колко елени е имало в стадото в този момент? Желателно е учениците да достигнат до понятието глобален минимум с помощта на софтуера. В5: Можете ли, аналогично на В3, да дадете дефиниция на понятието глобален минимум? Очаква се учениците да дадат формалната дефиниция: Нека А е множество . «Казваме, че функцията достига глобален максимум в точката , ако  за всяко ».
След понятието глобален екстремум учителят може да стимулира разглеждането на пиковете на функцията нагоре и надолу, и да ориентира дискусията по посока локални екстремуми. Основен момент, който по-нататък се изтъква чрез въпроси, е, че локалният екстремум е глобален, но в подходящ интервал. В6: Има ли момент в периода 2000-2002, в който числеността на популацията на елените е максимална?
Колко елени е имало в стадото в този момент? Тук се опитваме да дадем интуитивен образ на понятието локален екстремум, който по-нататък да бъде формализиран от учениците с помощта на учителя. В7: Как са свързани числата и за  ;
Целта е учениците да свържат локалния екстремум с околност на точката По общо, в зависимост от наличното време и поставените цели, учителят може да доведе учениците, чрез прости графики или вербално, до формалната дефиниция на понятието локален екстремум.
С помощта на учителя се очаква учениците да дадат формалната дефиниция: Казваме, че функцията притежава локален максимум в точката , ако съществува интервал  с  , така че за всяко  .
Учителят може да допълни, че интервалът може да има вида В9: Има ли момент в периода 2002-2005 г., в който числеността на популацията на елените е максимална? Колко елени е имало в стадото в този момент? Желателен е първоначален интуитивен графичен подход към понятието локален минимум. В10: Можете ли, аналогично на В8, да дадете дефиниция на локален минимум? Очаква се учениците да дадат формалната дефиниция: Казваме, че функцията притежава локален максимум в точката  , ако съществува интервал с , така че  за всяко .
В този момент е необходимо учениците за пръв път да се срещнат с идеята за евентуален локален екстремум в крайна точка на дефиниционния интервал. Може да се започне с обсъждане на дадената функция, например със следния въпрос: Смятате ли, че локалният екстремум трябва непременно да бъде във вътрешността на интервала? В кои случаи може да имаме екстремум в крайна точка на интервала? В11: В 2009 година достига ли численността на популацията своя максимум? Колко елени е имало в стадото в този момент? Очаква се учениците да отговорят, че в края на 2009 година или на 1.1.2010 г. популацията е максимална. Учителят може, в комбинацията със следващия въпрос В12, да доведе до формализация на твърдението: Функцията има локален максимум в крайната точка В12: Смятате ли, че дефиницията, която преди беше дадена за локален екстремум, включва също и случая, когато е крайна точка на дефиниционния интервал на функцията?
Желателна е дискусия по въпроса, тръгваща от локалния максимум в крайната точка В13: Смятате ли, че локалният максимум или минимум, ако съществува, е винаги единствен за функцията? Учениците изразяват свободно мненията си, вземайки под внимание графиката на функцията. Използвайки за мотивация отговорите на учениците на въпроса В13, дискусията може да бъде поведена към връзките между локалните и глобални екстремуми. В тази насока учителят може, чрез рисуване на някои прости графики на черната дъска, да доведе учениците до следните заключения: Локален екстремум означава, че съществува околност на точката, независимо с какъв радиус, в който екстремумът е глобален (използване на глобалните условия за разбиране на локалните). Ако в затворен интервал има няколко локални екстремума от един и същи вид, например локални максимуми, то глобалният максимум (който трябва да съществува според теоремата за достигане на екстремумите) се оказва най-големият от тези максимуми (от локалните условия към глобалните). Но ако интервалът е отворен, не е задължително локалните или глобални екстремуми да съществуват. Тази последна забележка ще бъде доразвита чрез примерите и контрапримерите на работен лист 4.2.2.
Очаква се, че учениците ще са способни да определят локалните и глобалните екстремуми на функцията. В15: Опишете всички намерени от вас локални и глобални екстремуми на функцията .
За да не бъдат пропуснати от учениците, екстремумите, заедно с техния вид, могат да бъдат подредени в таблица по реда на нарастването им..
В16: Смятате ли, че стойностите на екстремумите, намерени с помощта на софтуера, са абсолютно точни? Защо? Изчисленията, направени от програмите, мотивират започването на дискусия за границите на техните възможности. Ако например един от екстремумите е в точката 4.2.2 Работен лист (Анализ) По-нататъшни изследвания на локалните и глобални екстремуми Следващият файл дава графика на функция, съставена от две части, чиято дефиниция може да променяна динамично чрез промяна на техните параметри (те могат да бъдат променяни, без да засягат другите свързани с тях обекти). Целта е да се възпроизведат много различни случаи на локални и глобални екстремуми, което е необходимо за обогатяване на понятията, разгледани в 4.2.1. Отворете файла 4.2.2.activity.en.euc . След отварянето на съответ-ните инструменти и графиките, които те съдържат, вие може да промените по желание параметрите и да направите наблюдения върху локалните и глобални екстремуми на получените графики. За да получат учениците поглед върху цялата картина, те трябва да разгледат редица прости графики, освен разгледаните в предишния пример. В тези графики трябва да е възможна промяната на параметрите, за да могат да бъдат получени различните случаи на локални и глобални екстремуми. Опитайте се да покажете върху графиките на получените функции точките на локален и глобален екстремум, ако такива съществуват. В Очаква се отговорите на учениците да потвърдят, че локалните екстремуми може да се достигат в крайните точки на (затворения) интервал, в който функцията е дефинирана. Тук не се разглеждат изкуствените случаи, когато Δ се състои от няколко интервала, тъй като това е труден въпрос от гледна точка на средното образование. Независимо от това параметризацията на функцията от 4.2.1. позволява разделянето на дефиниционната област на подинтервали и следователно разширяването на проблема върху функции, дефинирани на обединение на интервали в  , и следователно издигането на работата на по-високо инструктивно/обучаващо ниво.
Чрез параметрите вие можете да промените първоначално зададената графика. След извършване на наблюденията вие може да отговорите на следния въпрос: В1: Мислите ли, че локалният максимум е винаги по-голям от локалния минимум (или че локалният минимум е винаги по-малък от локалния максимум)? Вие може да направите съответната конструкция с помощта на програмата или да начертаете графика в потвърждение на вашия отговор. Учениците могат да работят в групи и да конструират различни функции в подкрепа на техните твърдения за този и следващите въшроси. Те могат да използват също оригиналната графика от 4.2.1. В2: Мислите ли, че функцията винаги притежава локален максимум и минимум? Ако те съществуват, дали са единствени за функцията? Тук могат да бъдат споменати примери и контрапримери за специфични неограничени функции. С цел да се изяснят предходните понятия могат да бъдат дадени следните примери: функцията Зависи ли съществуването на глобални екстремуми от дефиниционната област на функцията? От нейните свойства? От кои точно? В3: Мислите ли, че ако функцията има локален максимум, той ще бъде и глобален? Може да се проведе дискусия относно екстремумите в отворен и затворен интервал. Могат да бъдат поставени по-нататъшни въпроси като следния: Кога се случва това? Можете ли да обясните вашето твърдение чрез подходяща графика? За да се отговори на следващите въпроси, вижте оригиналната графика (файл 4.2.1), комбинирана с предишния файл 4.2.2. В4: Ако функцията има много глобални максимуми, дали най-големият от тях ще бъде и глобален? Валидно ли е такова твърдение за разгледаната в примера функция? Мислите ли, че това твърдение е винаги валидно? При какви условия? Очевидно функцията В5: Ако функцията има няколко локални минимума, вярно ли е, че най-малкият от тях е глобален? Валидно ли е такова твърдение за разгледаната в примера функция? Мислите ли, че това твърдение е винаги валидно? При какви условия? Тук са валидни коментарите към В4. Освен това, учителят може да припомни графиките, които са били вече изучени, или да предложи на учениците да съставят собствени примери, които могат да бъдат начертани с помощта на софтуера или на работния лист. 4.2.1 Работен лист Използване на графиката на функция за въвеждане на понятията локален и глобален екстремум ЗАДАЧА Предвижданата численост (в хиляди) на стадо елени се описва приблизително с функцията за , където са годините между 1/1/2000 и 31/12/2010.
Природозащитна агенция се интересува в кой момент от периода числеността на елените ще достигне своя максимум, а в кой момент – минимума си. Отворете файла 4.2.1.activity.en.euc и натиснете бутона Graph (Графика), за да видите графиката на функцията , като точката 0 на оста x отговаря на началото на година 2000.
При използване на бутона Point – Coordinates (Точка - Координати) за точката M върху графиката на функцията се появяват нейните координати. Вие можете да променяте нейната абсциса В1: Има ли момент, в който числеността на стадото елени е максимална? Ако има, кога е бил и каква е била численността на елените тогава? В2: Да означим с момента, споменат във В1. Нека. По какъв начин са свързани и ?
Казваме, че в точката функцията достига глобален максимум.
В3: Опитайте да допълните следната дефиниция: Дефиниция: Нека е функция с дефиниционна област Α. достига глобалния си максимум в точката на Α, ако…………
В4: Има ли момент, в който числеността на стадото елени е минимална? Ако да, кога е бил този момент и колко елени е имало в стадото в този момент? В5: Можете ли, аналогично на В3, да дадете дефиниция на понятието глобален минимум? В6: Има ли момент в периода 2000-2002, в който числеността на популацията на елените е максимална?
Колко елени е имало в стадото в този момент? В7: Как са свързани числата и за ;
Казваме, че в точката функцията притежава локален максимум.
В8: Допълнете следната дефиниция: Дефиниция: Нека е функция с дефиниционна област Α. притежава локален максимум в точката от Α със стойност , ако…………
В9: Има ли момент в периода 2002-2005 г., в който числеността на популацията на елените е максимална? Колко елени е имало в стадото в този момент? В10: Можете ли, аналогично на В8, да дадете дефиниция на локален минимум? В11: В 2009 година достига ли численността на популацията своя максимум? Колко елени е имало в стадото в този момент? В12: Смятате ли, че дефиницията, която преди беше дадена за локален екстремум, включва също и случая, когато е крайна точка на дефиниционния интервал на функцията?
В13: Смятате ли, че локалният максимум или минимум, ако съществува, е винаги единствен за функцията? В14: Може ли да намерите други локални екстремуми, незабелязани преди, чрез наблюдаване на графиката на функцията ?
В15: Опишете всички намерени от вас локални и глобални екстремуми на функцията .
В16: Смятате ли, че стойностите на екстремумите, намерени с помощта на софтуера, са абсолютно точни? Защо? 4.2.2 Работен лист По-нататъшни изследвания на локалните и глобални екстремуми Отворете файла 4.2.2.activity.en.euc . След отварянето на съответ-ните инструменти и графиките, които те съдържат, вие може да промените по желание параметрите и да направите наблюдения върху локалните и глобални екстремуми на получените графики. Опитайте се да покажете върху графиките на получените функции точките на локален и глобален екстремум, ако такива съществуват. Чрез параметрите вие можете да промените първоначално зададената графика. След извършване на наблюденията вие може да отговорите на следния въпрос: В1: Мислите ли, че локалният максимум е винаги по-голям от локалния минимум (или че локалният минимум е винаги по-малък от локалния максимум)? Вие може да направите съответната конструкция с помощта на програмата или да начертаете графика в потвърждение на вашия отговор. В2: Мислите ли, че функцията винаги притежава локален максимум и минимум? Ако те съществуват, дали са единствени за функцията? В3: Мислите ли, че ако функцията има локален максимум, той ще бъде и глобален? За да се отговори на следващите въпроси, вижте оригиналната графика (файл 4.2.1), комбинирана с предишния файл 4.2.2. В4: Ако функцията има много глобални максимуми, дали най-големият от тях ще бъде и глобален? Валидно ли е такова твърдение за разгледаната в примера функция? Мислите ли, че това твърдение е винаги валидно? При какви условия? В5: Ако функцията има няколко локални минимума, вярно ли е, че най-малкият от тях е глобален? Валидно ли е такова твърдение за разгледаната в примера функция? Мислите ли, че това твърдение е винаги валидно? При какви условия? Каталог: calgeo calgeo -> 4. 1 Активност: Понятията производна и допирателна Съдържание на активността calgeo -> Занятие първо въвеждаме по същество теоремата на Ферма, а след това излагаме нейното доказателство calgeo -> История на Математическия анализ calgeo -> 1. 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността calgeo -> 1. Въведение в безкрайните процеси граници на редици 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността Изтегляне 190.49 Kb. Сподели с приятели:
|
, с което се променя положението на точката върху графиката, като се следи промяната и на нейната ордината 
в съответното положение. Освен това, с помощта на параметъра 
Line y = k може да се придвижва хоризонталната права 
. Маркират се пресечните точки на тази права с графиката на функцията (ако съществуват). 
или с отворен интервал, който я съдържа, в който локалният екстремум е и глобален.
, т.е. отворен интервал с център 
.
на дефиниционната си област 
.
от въпрос В11 и локалния минимум при
. 
, как бихме могли да постигнем пълна точност? Тази дискусия може да доведе до необходимостта за намирането на математически инструменти за намирането на точните стойности на точките, в които функцията има локални и глобални екстремуми. В следващата стъпка, активност 4.3 , за тази цел се въвежда теоремата на Ферма. 
този момент учителят трябва да обясни на учениците предназначението на различните бутони, както и на параметрите на функциите, за да могат те да работят с тях. След това той може да ги насочи към конструирането на различни образи на графики на непрекъснати и прекъснати функции, дефинирани върху отворени 
, дефинирана в различни интервали като: 
по отношение на съществуването на екстремуми, и 
= sin x , показваща, че екстремумът не е единствен. Може да бъде спомената и теоремата на Вайерщрас (или теоремата за минималната и максималната стойност) за непрекъснати функции в краен и затворен интервал, заедно с въпроси като следния: 
е непрекъсната в краен и затворен интервал и следователно притежава глобални екстремуми. В контраст с въпросите от файла 4.2.2 се очаква въпросът да обогати ученическите наблюдения върху понятията локален и глобален екстремум.