Кинематика и динамика на въртеливо движение

(4) 1  2  ...  i   rad / s Тогава (3)

Изтегляне 0.71 Mb.

страница	2/5
Дата	01.03.2024
Размер	0.71 Mb.
	#120513

1 2 3 4 5

vartene
Свързани:
Същност на управлението.Основни функции.

(4) ₁  ₂  ...  _i   rad / s

Тогава (3) добива вида :

(5) T  ¹.m .R². ²
J 

i ₂i i

Величината :
(6) I  m .R²
kg.m² , се нарича инерчен момент на материална точка спрямо

i i i
дадена ос.

Тогава изразът за T_i
(5) добива вида :

(7) T  ¹.I . ²
i ₂i
J 

Тъй като, кинетичната енергия е адитивна величина, за да получим кинетичната енергия на въртящото се тяло трябва да сумираме кинетичните енергии на всичките му материални точки:

(8) T 
ⁿ T  n ^¹.I . ² ^ ¹^n

I ^ ²
J 

 ₂

2
 i
i1
 _i 
i1 ^^
._
 i1
_i .


Величината :

(9)

въртене.
I  _I_ii1
се нарича инерчен момент на тялото спрямо дадената ос на

Виждаме, че ако тялото се върти около неподвижна ос, то може да притежава кинетична енергия независимо, че не променя местоположението си в пространството, тоест не се движи постъпателно. Тъй като кинетичната енергия е адитивна величина, ако тялото извършва едновременно и постъпателно и въртеливо движение (например търкаляне на топка), пълната му кинетична енергия трябва да е сума от кинетичните енергии на постъпателно и въртеливо движение :

T  T_пост T_въртJ 

(12) T  ¹.m.v²
J 

пост ₂C
Където :
m kg е масата на тялото;
v_Cm / s е скоростта на центъра на масите (центъра на инерция), тъй като при
постъпателно движение можем да считаме тялото за материална точка с маса m kg,
движеща се със скорост v_Cm / s;
I kg.m²  е инерчният момент на тялото спрямо избраната ос на въртене;
 rad / s е ъгловата му скорост спрямо тази ос.
Нека да разгледаме по-подробно важната величина инерчен момент. Сравнявайки изразите за кинетична енергия при постъпателно (11) и въртеливо движение (12) :

Виждаме, че на линейната скорост v_C
^в^Tпост
отговаря ъгловата скорост
^в^Tвърт ^,

а на масата m в T_пост– инерчният момент I в T_върт. Следователно инерчният момент
I на въртящо се тяло е скаларна величина, еквивалентна на масата m при

постъпателните движения, тоест определяща инертността при въртеливите движения. Големина на инерчният момент се определя от изразът:

(13)

I  _R².dm
V
kg.m² 

Като интегрирането си извършва по целия обем V на тялото, на всяка физически малка маса dm, намираща се на разстояние R от оста на въртене. Ако разпределението на масата не е непрекъснато (тоест можем да разглеждаме тялото като съставено от отделни материални точки), можем да използваме формулата, която написахме по-горе:

(14)

I  _m .R²
kg.m² 

n
i i
i1

Трябва да отбележим някои важни различия между масата и инерчния момент:

Инерчният момент на дадено тяло се определя винаги спрямо ос. Ако едно тяло може да се върти около различни оси, то ще има различни инерчни моменти при въртене около всяка от тях. Масата на тялото обаче, остава неизменна, независимо как се движи то.
Инерчният момент, както се вижда от определението, зависи не само от масата на тялото, а и от нейното разпределение. Две тела с еднаква маса, форма и размери, могат да имат различни инерчни моменти спрямо дадена ос. Ако променим разпределението на масите в едно тяло, можем да променим инерчния му момент, но не и масата му.
Инерчният момент, за разлика от масата, зависи от формата и размерите на тялото.

Инерчните моменти на телата обикновено се пресмятат спрямо ос, която минава през центъра на инерция на тялото. Тези стойности се дават в справочниците. Ако искаме да пресметнем инерчния момент I спрямо произволна ос (фиг. 1):

Фиг.1.

Използваме теоремата на Щайнер:

I  I_C m.a kg.m 

2 2
Където I_Ckg.m  е инерчния момент на тялото спрямо ос, успоредна на дадената
2
и минаваща през центъра на инерция C, a m е разстоянието между двете оси, а m kg
е масата на тялото.

2. Работа на сила при двумерно въртене. Момент на сила. Основно динамично уравнение на въртенето.

Казахме, че движенията на едно твърдо тяло могат да се разделят най-общо на постъпателни и въртеливи. Тъй като движението се предизвиква от сила, ще изясним под действие на какви външни сили едно тяло извършва различните видове движения.

Ако направлението на силата минава през центъра на масите, тя предизвиква само постъпателно движение на тялото. При всяко друго направление на силата, тя може да предизвиква и въртеливо движение на тялото.

За случая на двумерно въртене, който разглеждаме ние, нещата се опростяват значително. Доколкото оста е фиксирана неподвижно, тялото не може да се движи постъпателно. Ако направлението на силата пресича оста на въртене или е успоредна на нея, тя не може да предизвика и въртеливо движение. Следователно, при въртене около фиксирана ос, силата трябва да сключва с оста ъгъл, различен от 0 (нула) и да не я пресича, за да предизвика въртеливо движение (фиг. 2).
Резултатът от действието на една сила най-често се измерва с работата, която тя

извършва. Затова ще пресметнем работата на външната сила F с модул F N , която е
приложена в точка от тялото, намираща се на разстояние R m от оста на въртене,
направлението ѝ е перпендикулярно на оста на въртене и сключва ъгъл  rad  с

вектора R (фиг. 2,3).

Фиг.2.

За интервал от време

dt s

Фиг.3.

тялото ще се завърти на ъгъл
d rad , а

преместването на приложната точка на силата ще бъде изразът за елементарната работа ще бъде :

dr , с модул
dr m. Тогава

F . dr .cos
 

dA 

  J 

Но тъй като

 
R  dr , то  

 , (фиг.3). Заместваме в (16):


2
(17) dA  F.dr.cos^^  ^J , но cos^^  ^ sin  :

2

2
   
   
(18) dA  F.dr.sin  J 

Изтегляне 0.71 Mb.

Сподели с приятели:

1 2 3 4 5