Кинематика и динамика на въртеливо движение

Ако интегрираме изразът за елементарната работа (27) , като отчетем, че

  ₁,₂ , то получаваме работата на произволна сила при въртеливо движение :
_{2  } _{2  }
(28) A  _ M .d  _ M .d J
₁ ₁

Последната формула е аналог на формулата за работа на променлива сила при постъпателни движения. Ако силата е постоянна по големина и ъгълът  не се

променя, въртящият момент също ще бъде постоянен и от (28) ще получим:
₂

(29)

A  M ._ d  M .₂  ₁   M . J , където 
₁
е в [rad].

При извършване на работа от външната сила върху тялото, трябва да се промени неговата кинетична енергия. Тъй като то не се движи постъпателно, променя се

кинетичната енергия на въртеливо движение. От връзката dA  dT_върт J  можем да


получим зависимост между момента на силата M , инерчният момент
I kg.m² и


ъгловото ускорение  , подобна на втория принцип на Нютон:
(30) dA  dT_върт J 

Заместваме в (30) изразът за T_върт
от (12) :

(31) dA  d ^{ 1} .I. ^{2 }  ¹ .I.d  ²   ¹ .I.2..d J 

 

2

2

2
 
(32) dA  I..d J 

Заместваме изразът за елементарната работа dA  M .d
(33) M .d  I..d J , делим на dt :
от (26):

(34) M . ^d  I.. ^d
J / s

dt dt

Но ^d   rad / s
dt

е ъгловата скорост, а

^d  
dt
rad / s ² 

е ъгловото ускорение.

Тогава (34) добива вида : M .  I..
J / s


Последното уравнение може да се запише във векторен вид, защото векторите M


и  са еднопосочни:

Това уравнение е аналог на втория принцип на Нютон при постъпателните

 
движения ( m.a  F ) и се нарича основно динамично уравнение на въртеливите движения. Виждаме, че можем да го получим като заменим линейните величини с
   
ъглови ( F  M , m  I , a   ). И тук можем да обобщим уравнението за случая,


когато действат повече сили F_i

(и съответно създават повече въртящи моменти M_i ),

тъй като моментът на силата също е векторна величина и за него също е в сила принципът на суперпозицията. Резултантният въртящ момент, който действа на тялото в този случай ще бъде:
  ⁿ 

(37)

I.  M  _M_i
i1


Тук 
е ъгловото ускорение, което получава тялото от равнодействащия момент

 ⁿ 
M  _ M_i .
i1
След като вече знаем основните динамични уравнения на постъпателното
   
( m.a  F ) и въртеливо ( I.  M ) движение на едно тяло, можем да формулираме и
условията за равновесие на тяло (т.е. да определим кога тялото ще бъде неподвижно в дадена точка). В този случай тялото не се движи постъпателно, следователно ускорението му е равно на нула и от втория принцип на Нютон (основното динамично уравнение на постъпателните движения) следва, че векторната сума от всички действащи на тялото сили трябва също да бъде нула. Тъй като тялото не се върти, ъгловото му ускорение също ще бъде нула и от (37) следва, че векторната сума от моментите на всички сили спрямо всички възможни оси на въртене също ще бъде нула. Така стигаме до условията за равновесие на дадено тяло:



3.Основни дефиниции при въртеливо движение на реални тела

Въртеливото движение на реални тела, имащи много сложна форма, разпределение на масата, размери и специфика на оста на въртене представляват огромно предизвикателство за коректно и детайлно описание. По тази причина тук ще се спрем на един от най-простите примери, наречен чисто въртене на идеално твърдо тяло около постоянна ос.

Нека първо дадем дефиниции на споменатите термини. Според разбирането ни за сила, това е причината, която ще завърти тялото. От друга страна, силата може да предизвика деформация. Ако това се случи по време на въртенето, то траекториите на частите на това тяло ще бъдат изключително сложни. По тази причина, за опростяване на разглежданията ни, ще въведем термина идеално твърдо тяло, като тяло което не се деформира при въртеливо движение т.е. не променя големината и формата си. При малки скорости на въртене, това приближение е всъщност напълно правдиво.
4. Закон за движение при постоянно ъглово ускорение
Движението с постоянно ъглово ускорение е частен случай на движение по окръжност. Зависимостите между величините при въртеливо движение спрямо ос са много подобни на тези, които изведохме при постъпателното движение:
𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜃(𝑡) = 𝜃(𝑡0) + 𝜔(𝑡0). ∆𝑡 +

𝜔(𝑡) = 𝜔(𝑡0) + 𝛼. ∆𝑡

𝛼. ∆𝑡2

2 (4.15 a)

(4.15 b)
2𝛼[𝜃(𝑡) − 𝜃(𝑡0)] = [𝜔(𝑡)]2 − [𝜔(𝑡0)]2

(4.15 c)

𝜔𝑎𝑣 =
𝜔(𝑡0) + 𝜔(𝑡)
2 (4.15 d)
(t) - е ъгълът на завъртане в края на въртенето; (t0) е началната стойност на ъгъла на завъртане; (t) - е крайната ъглова скорост, а (t0) е началната ъглова скорост;  е постоянното ъглово ускорение.

Изтегляне 0.71 Mb.

Сподели с приятели: