Конспект за кандидатдокторантски изпит Теорема за неявната функция

1. 
   Теорема за неявната функция.
   
2. 
   Подмногообразия в Rⁿ. Условни екстремуми и множители на Лагранж.
   
3. 
   Криволинейни интеграли. Затворени и точни диференциали.
   
4. 
   Аналитични функции. Теорема на Коши за резидуумите.
   
5. 
   Теорема на Брауер за неподвижната точка. Основна теорема на алгебрата.
   
6. 
   Лебегова мярка и лебегов интеграл в крайномерни пространства.
   
7. 
   Теореми за граничен преход в лебеговия интеграл.
   
8. 
   Теореми на Фубини и Тонели.
   
9. 
   Теорема на Лебег за диференцируемост на монотонна функция.
   
10. 
    Представяне на линейните функционали в C[0,1], l_p и L_p .
    
11. 
    Хилбертово пространство. Теорема за проекциите. Представяне на огра­ничените линейни функционали.
    
12. 
    Ортонормирани системи. Неравенство на Бесел и равенство на Парсевал. Теорема на Рис-Фишер.
    
13. 
    Метрични пространства. Пълнота. Теорема на Бер.
    
14. 
    Компактност в метрични пространства.
    
15. 
    Пространство C(M). Теореми на Арцела-Асколи и на Вайерщрас-Стоун.
    
16. 
    Банахово пространство. Теорема на Хан-Банах и теореми за отделяне.
    
17. 
    Теорема на Банах-Щайнхауз и теорема за сгъстяване на особеностите.
    
18. 
    Теореми за отвореното изображение и за затворената графика.
    
19. 
    Компактни оператори. Алтернативи на Фредхолм.
    
20. 
    Компактни самоспрегнати оператори. Теорема на Хилберт-Шмидт.
    
21. 
    Ограничени самоспрегнати оператори в Хилбертово пространство. Спек­тър и норма. Спектрална теорема.
    
22. 
    Комутативни Банахови алгебри. Максимални идеали. Теорема на Гелфанд-Мазур.
    

1. Л. Люстерник, В. Соболев, Елементи функционального анализа, „Наука“, Москва, 1965.

2. У. Рудин, Функциональный анализ, „Мир”, Москва, 1975.

3. У. Рудин, Реален и комплексен анализ. „Наука и изкуство”, София, 1984.

4. Л. Алфорс, Увод в теорията на аналитичните функции, „Наука и изкуство”, София, 1971

5. Е. Титчмарш, Теория функций, „Наука“, Москва, 1980.