Лекция 5 линейни и векторни пространства Линейни пространства

Координатите на тези вектори се предполагат реални числа, макар че при доказателството на основните твърдения в много случаи се допуска възможността координатите да приемат и комплексни стойности. Размерността на е равна на , . Тук най-често се използва каноничният базис

за който имаме . Съгласно твърдение 5.4, векторите , , образуват базис тогава и само тогава, когато

По аналогия се определя и линейното пространство , където е някакво друго числово поле, например .

В този раздел ще разгледаме понятия като собствено число, собствен вектор, ортогонална матрица и характеристичен полином, които имат огромно значение за цялата линейна алгебра, при което ще дадем определенията в общия случай, както и ще докажем някои основни свойства.

Преди всичко в се въвежда скаларно произведение и по тази причина то се нарича евклидово пространство (другата причина е, че координатите на векторите се приемат основно за реални числа). Нека и са два вектора. Тогава тяхното скаларно произведение се определя като сбор от произведенията на съответните координати.

По нататък ще установим, че горното определение се съгласува правилото на пресмятане на геометричното скаларно произведение, когато геометричните вектори се разглеждат в ортонормирания базис , , .

Лесно се проверява, че са налице следните основни свойства.

1) , при което равенство има единствено в случая .

2) (симетричност).

3) (линейност).

Поради симетрията, скаларното произведение е линейно и по двата аргумента, което позволява при работа да се разкриват скобите по обичайния начин.

Строго погледнато даденото определение представлява един частен (макар и най-важния) случай на скаларно произведение. В могат да се въведат различни скаларни произведения, следвайки изискването да са изпълнени изброените по горе три свойства.

Скаларното произведение може да се запише във вида

в който се използва познатото матрично умножение "ред по стълб".

Векторите и се наричат ортогонални, когато тяхното скаларно произведение е равно на нула, . В този случай понякога се пише . Дължината (модулът) на вектора се определя като (също както при геометричните вектори).

Следващото твърдение намира различни приложения.

Тогава

което доказва твърдението. ■

В частност, ако е собствен вектор за матрицата , отговарящ на собствено значение , то всеки вектор , , също е собствен за това число.

Твърдение 5.6. Собствените вектори, отговарящи на различни собствени значение на дадена матрица са линейно независими.

Доказателство. Нека , , ..., са собствени вектори, отговарящи на различните помежду си собствени значения , , ..., и да образуваме една тяхна нулева линейна комбинация

.

Като приложим матрицата върху горното равенство, намираме

понеже по определение , за всяко . Прилагайки отново матрицата намираме

и т.н. намираме, че за всяко цяло положително число е налице равенството

Да разгледаме тези равенства за и да ги подредим в матричен вид. Получаваме матричното равенство

(5.2) ,

в което първата матрица множител отляво има детерминанта от тип на Вандермонд, която е различна от нула по условие, вторият множител отляво е матрица, чиито редове са образувани от собствените вектори на , умножени с коефициентите на линейната комбинация, а матрицата отдясно е нулевата матрица. Умножавайки (5.2) отляво с обратната матрица на вандермондовия множител, получаваме

което означава, че всичките вектори редове , , са нулеви, а това е възможно, единствено когато всичките коефициенти , , ..., на линейната комбинация са равни на нула. ■

В общия случай собствените значения на реалните матрици могат да бъдат и комплексни числа. Симетричните матрици обаче имат само реални собствени значения.

Твърдение 5.7. Нека е реална симетрична матрица от ред . Тогава всичките нейни собствени значения са реални.

Доказателство. Нека е едно собствено число на , на което отговаря собствен вектор , където и са реалната и имагинерната част на , а и са реални вектори, задаващи реалната и имагинерната част на собствения вектор . Трябва да покажем, че . По условие имаме ,

, ,

откъдето отделяйки реална и имагинерна част получаваме

Умножавайки скаларно първото с , а второто с , получаваме

(5.3) и .

От друга страна матрицата е симетрична, следователно

Сега изваждайки почленно двете равенства в (5.3) получаваме

което показва, че , понеже ако , то ще следва, че и , а това противоречи на изискването, че собственият вектор не е нулев. От факта, че веднага се получава, че и , при което поне един от двата вектора и е различен от нулевия. ■

Един базис , , ..., се нарича ортонормиран, когато е ортогонален, т.е. базисните вектори са взаимно ортогонални,

за , ,

и нормиран, т.е. когато всичките базисни вектори имат единична дължина,

В може да се определи ортонормиран базис, състоящ се само от собствени вектори на дадена симетрична матрица . Това важно твърдение ще докажем за случая, когато собствените значения на матрицата са различни.

следователно , понеже . По този начин установихме, че те образуват ортогонален базис. Сега веднага се проверява, че векторите

образуват ортонормиран базис. ■

Да подредим този ортонормиан базис в стълбове и да разгледаме така получената матрица . Тогава непосредствено се проверява, че , което означава, че матрицата е ортогонална.

Нека , , ..., е ортонормираният базис от собствени вектори за симетричната матрица и нека . По условие имаме , за всяко , следователно

По този начин доказахме частен случай на следната основна

Теорема 5.3 е доказана строго по-горе за случая, когато собствените значения на са различни помежду си.

Нека е матрица и са вектори, зададени чрез техните координати в каноничния базис. Тогава

и ,

следователно винаги е налице равенството . В частност, ако е симетрична, то .

Нека сега е ортогонална матрица. Тогава

,

следователно преобразуването на векторите посредством ортогонална матрица запазва скаларното произведение, което е най-важното свойство на ортогоналните матрици. В частност се запазват и дължините на векторите, понеже

(5.4) , .

Скаларното произведение може да се определи и посредством алгебричната проекция на вектора върху оста на вектора (рис. 5.11).

Рис. 5.11.

Рис. 5.12. По определение имаме , следователно . По същия начин се установява, че (където е оста на вектора ).

Непосредствено от определението на скаларно произведение чрез формулата (5.4), произтичат следните основни свойства.