Лекция 5 линейни и векторни пространства Линейни пространства

Тогава векторите , , ..., са линейно независими тогава и само тогава, когато , т.е. когато рангът на матрицата е максимален. Следователно, ако , то векторите , , ..., образуват базис тогава и само тогава, когато , т.е. когато .

Нека е линейно пространство и , , ..., са някакви вектори. Тогава тяхната линейна обвивка представлява крайномерно линейно пространство (което е подпространство на ) и неговата размерност се нарича ранг на системата вектори , , ..., , . Рангът на една система вектори е равен на най-големия брой линейно независими между тях. В частност, тогава и само тогава, когато , , ..., са линейно независими.

Рис. 5.1.

При нулевият вектор , началната и крайната точка съвпадат. Една насочена отсечка притежава следните геометрични характеристики.

1) Дължина (модул на вектор), която се бележи с . Дължината е относително понятие. Ако имаме еталон (мащаб) – вектор с дължина , то можем да изразим дължината на всеки друг вектор като пропорция от дължината на . Всеки два вектора могат да бъдат сравнявани по дължина. Нулевият вектор и само той има нулева дължина, .

2) Направление и посока. За всеки ненулев вектор , съществува единствена права , върху която лежи . Тази права се нарича директриса и задава направлението на вектора . Едно направлението, определено от правата , задава две посоки, първата съвпада с посоката на вектора , а втората посока е противоположна на . Нулевият вектор няма определено направление и посока.

Две насочени отсечки, които могат да се получат една от друга с помощта на успоредно пренасяне, по нататък ще разглеждаме като представители на един и същ (свободен) вектор. По този начин не правим разлика между два вектора, които имат една и съща дължина и едно и също направление и една и съща посока.

Тези вектори можем да разглеждаме като получени от множеството на насочените отсечки след прилагане на описаното отношение на еквивалентност между тях.

Ос се нарича права, върху която е избран мащаб за дължина и едната от двете нейни посоки е определена като положителна. По този начин за всеки вектор върху дадена ос се определя алгебрична мярка, равна на неговата дължина в съответствие с мащаба, когато и са еднопосочни и равна на неговата дължина със знак минус, когато и имат противоположни посоки.

Между геометричните вектори разглеждаме следните линейни операции.

Рис. 5.2.

Рис. 5.3. Събирането може да бъде извършено по правилото на успоредника (рис. 5.3), при което двата вектора и се прилагат в една и съща точка , след което триъгълникът се допълва до успоредник . Тук сборът се явява векторът, който представлява диагонала .

Разликата може да се разгледа като сбора на с , и отново да се определи по правилото на успоредника (рис. 5.4 и рис 5.5).

Рис. 5.5.

Рис. 5.5. Непосредствено се проверява, че така определеното множество на геометрични вектори и линейни операции между тях удовлетворяват всички основни изисквания за линейно пространство. Между тези свойства да обърнем внимание на асоциативността на операцията събиране, която е доказана илюстративно на (рис. 5.6).

Рис. 5.5.

Рис. 5.7. На рис. 5.7 е илюстриран начинът на събиране на повече от два вектора.

Два вектора и в равнината или в пространството се наричат колинеарни (успоредни), когато са линейно зависими, т.е. когато могат да се намерят две числа и , поне едното от които различно от нула такива, че . По този начин нулевият вектор е колинеарен с всеки друг вектор. Тук е по-интересен случаят когато и двата вектора са ненулеви. Нека за определеност . Тогава имаме , което означава, че векторите и имат едно и също направление (успоредни директриси), откъдето и произлиза терминът "колинеарни".

Три вектора , и в пространството се наричат компланарни, когато са линейно зависими, т.е. когато могат да се намерят три числа , и , поне едното от които различно от нула такива, че . По този начин нулевият вектор е компланарен с всеки друг вектор и освен това, ако кои да е два от векторите , и са колинеарни, то те са компланарни. И тук е по-интересен случаят когато и трите вектора са ненулеви. Нека за определеност . Тогава имаме , което означава, че векторът лежи в равнина, определена от векторите и , откъдето и произлиза терминът "компланарни". Тази равнина се явява единствена, когато векторите и не са колинеарни. Пренебрегвайки някои технически уточнения, даваме следното

По-нататък ще се убедим, че горното определение за базис се съгласува напълно с даденото в предишния раздел общо определение за базис.

Рис. 5.8.

Последните разсъждения трябва да се схващат по скоро като резултат на геометричната интуиция отколкото като строги дедукции в рамките на апарата на линейната алгебра.

Сега вече лесно можем да установим, че всеки три вектора в равнината са линейно зависими и всеки четири вектора в пространството са линейно зависими. Да разгледаме векторите , и от някоя равнина. Ако и са колинеарни, то няма какво да се доказва, ако и не са колинеарни, то те образуват базис и следователно третият вектор се представя като тяхна линейна комбинация. Да разгледаме сега векторите , , и от пространството. Ако , и са компланарни, то няма какво да се доказва, ако и не са компланарни, то те образуват бази и следователно четвъртият вектор се представя като тяхна линейна комбинация.

По този начин се убедихме, че равнината е линейно пространство с размерност , а пространството може да бъде разглеждано като линейно пространство с размерност . По тази причина понякога равнината се означава с , а пространството чрез .

Ако е зададена една афинна координатна система, то правите през началото , успоредни на базисните вектори се наричат координатни оси. Координатните оси са оси, за които мащабът е посоката се задават от съответните базисни вектори. Всеки две координатни оси на афинната координатна система в пространството образуват съответната координатна равнина.

Ако базисните вектори сключват помежду си прави ъгли, то базисът се нарича ортогонален, а когато базисът е ортогонален и базисните вектори имат единична дължина, то базисът се нарича ортонормиран.

Ако базисът е ортонормиран, то съответната афинна координатна система се нарича декартова (правоъгълна). В декартова координатна система координатните оси могат да бъдат разглеждани като числови оси.

По нататък в геометричните изследвания ще разглеждаме като правило само декартови координатни системи с базисни вектори, означени с и със съответни числови оси и за случай на равнина (рис 5.10) и , и със съответни числови оси , и за случай на пространство (рис 5.11).

Рис. 5.10.

Рис. 5.11. Когато трябва да означим дадена точка чрез нейните координати пишем и съответно за случая на равнина и пространство.

Декартовата координатна система в равнината се нарича положително ориентирана, когато по-краткият път на завъртане на първата числова ос до сливане с втората ос е в посока, обратна на движението на часовниковата стрелка, както е в случая, изобразен на рис. 5.10. В противен случай координатната система се нарича отрицателно ориентирана. Очевидно ако координатната система е положително ориентирана, то системата е отрицателно ориентирана.

Декартовата координатна система в пространството се нарича положително ориентирана, когато координатната система в съответната координатна равнина е положително ориентирана, "погледнато от върха" на третата ос , както е в случая, изобразен на рис. 5.11. В противен случай координатната система се нарича отрицателно ориентирана.

Аналогични означени за координатните оси както и аналогични определения за ориентация могат да бъдат въведени и за произволна афинна координатната система.

Освен декартови координатни системи могат да бъдат използвани и други координатни системи, които имат същото основно предназначение – да адресират точките в равнината и пространството, например полярна, цилиндрична и сферична координатна система.