Лекция 6 уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината

следователно . Последното е валидно за всеки вектор от , което по определение означава, че е нормален към . Ако пък е известно, че е нормален към , то е ортогонален на всеки вектор от , в частност и на векторите и . ■

Нека е дадена равнина с общо уравнение . Тогава ненулевият вектор е нормален към равнината . Наистина, нека , са някакви точки от , което означава, че

.

Като извадим първото уравнение от второто получаваме равенството

което показва, че векторите и са ортогонални, следователно така определеният вектор е ортогонален на всеки вектор с начало и край върху равнината, което доказва твърдението.

Една равнина напълно се определя по дадена точка и даден нормален вектор , (рис. 6.9).

Рис. 6.9.

Нека и са радиус векторите на дадената точка и текущата точка от равнината . Равнината се състои от точките , за които , което означава, че скаларното произведение на векторите и е равно на нула. Следователно точките от се описват от съотношението , което в координатна форма има вида

(6.7) ,

и се нарича уравнение на равнина през дадена точка и известен нормален вектор.

Пример 6.8. Уравнението на равнината , която съдържа точката и има нормален вектор има вида

.

Уравнението (6.7) предлага алтернативен начин за решаване на задачата за намиране уравнение на равнина през дадена и съдържаща два линейно независими вектора и . В този случай, съгласно твърдение 6.1, векторът е нормален към равнината , следователно поставената задача може да бъде решена посредством уравнението (6.7). Между записа на уравненията (6.4) и (6.7) няма формална разлика, понеже при уравнението (6.4) коефициентите , и се оказаха координатите на вектора , които се явяват и координати на вектора при уравнението (6.7).

От друга страна, както вече споменахме при извода на уравнението (6.3), равнината може да бъде характеризирана като съвкупността от точки в пространството, за които векторите , и са линейно зависими, което означава, че може да се запише като линейна комбинация на векторите и , понеже те образуват базис в . По този начин за намерихме представянето , което записваме във вида

(6.8) ,

където параметрите и могат да приемат произволни константи. Последното се нарича векторно параметрично уравнение на равнина в пространството. За разлика от параметричното уравнение на права, което съдържа само един параметър, (6.8) съдържа два параметъра, понеже геометричната размерност на равнината е равна на .

Записвайки (6.8) в координатен вид, получаваме

което се нарича скаларно параметрично уравнение на равнина в пространството.

то координатното уравнение на може да се намери по формулата (6.3)

Тази равнина има нормален вектор

Преминаването от един вид уравнение към друг ще покажем върху пример. Нека равнината е зададена чрез своето общо уравнение . Тогава, разсъждавайки както при доказателството на теорема 6.2 (разглеждайки общото уравнение на равнината като система от едно линейно уравнение с три неизвестни), за точките от равнината получаваме следното представяне

(6.9) ,

от което веднага получаваме, че точката лежи в равнината , а векторите и са успоредни на . Векторното равенство (6.9) е всъщност параметричното уравнение на , понеже може да бъде преписано във вида

Тогава точката лежи в , а векторите и са успоредни на , следователно векторът

е нормален към . Сега общото уравнение на може да бъде намерено по два (еквивалентни) начина. По формулата (6.7) имаме

(6.10) и ,

където и . Различаваме следните три основни взаимни разположения.

1) Равнините и се пресичат в една права , .

2) Равнините и са успоредни но не се сливат, , .

3) Равнините и се сливат, .

Тези разположения можем да установим, разглеждайки уравненията на двете равнини като система от две линейни уравнения с три неизвестни

с основна и разширена матрици

По условие за ранговете на тези матрици винаги е изпълнено .

Вторият случай е налице, когато системата не е съвместима – няма решение. Според теоремата на Кронекер-Капели, това означава, че , което е възможно, само когато и .

При първия и третия случай системата е съвместима, което означава или

Нека е налице равенството , което е еквивалентно на . Тогава, съгласно теоремата за базисния минор, всеки от редовете на разширената матрица се получава от другия след умножение с някакво различно от нула число, следователно уравненията на и задават едно и също множество в пространството, което съответства на третия случай на сливащи се равнини.

Поради липса на друга възможност, за първия случай на равнини пресичащи се в една права остава случая .

Взаимното разположение на двете равнини и може да бъде характеризирано и с помощта на техните нормални вектори и , понеже две равнини са успоредни (колинеарни, линейно зависими) тогава и само тогава, когато са успоредни техните нормални вектори, а двата вектора и са успоредни тогава и само тогава, когато .

По този начин доказахме следното

Една примерна точка , която лежи в равнината има координати

Тази точка се явява проекцията на началото на координатната система върху равнината.

се пресичат в една права, понеже за ранга на основната матрица имаме

и разбира се

Това определение дава два ъгъла, които се допълват до . Когато , единият от тях е остър, а другият е тъп.

намираме

следователно в този пример равнините и сключват остър ъгъл .

Рис. 6.10.

Тогава векторът е нормален към равнината, а векторът

е единичен нормален вектор към . Точката се явява ортогоналната проекция на върху равнината . Търсим разстоянието между равнината и точката . Очевидно . Векторът е успореден на , следователно , за някое число , а за търсеното разстояние получаваме

От друга страна , откъдето за координатите на точката , които са същевременно и координати на нейния радиус вектор намираме

Числото ще определим от условието, че точката лежи върху равнината , което означава, че нейните координати удовлетворяват уравнението,

След преобразуване на последния израз получаваме

откъдето за търсеното разстояние намираме формулата