Лекция 6 уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината
Изтегляне 0.55 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Пример 6.20.
- Пример 6.21.
- Разстояние
1) Правите  и са кръстосани, което означава, че те не лежат в една равнина. Това е случаят, когато векторите , и не лежат в една равнина, т.е. когато тяхното смесено произведение е различно от нула, .
2) Правите и лежат в една равнина , където се пресичат в една точка. Това съответства на случая, когато (лежат в една равнина) и (правите не са успоредни).
3) Правите и лежат в една равнина , където са успоредни и не се сливат. Това съответства на случая, когато (правите и са успоредни, при което по необходимост имаме , понеже в този случай детерминантата съдържа два пропорционални реда) и точката не принадлежи на правата , както и точката не принадлежи на правата (правите не се сливат).
4) Правите и се сливат. Това съответства на случая, когато , при което точката принадлежи на правата , както и точката принадлежи на правата .
От изброените случаи най-голям интерес представлява случаят, когато правите Пример 6.20. Да определим взаимното разположение на двете прави и .
Тук имаме ,
следователно двете прави са кръстосани. Ос на две кръстосани прави. За всеки две кръстосани прави и съществува единствена трета права , която ги пресича под прав ъгъл.
Рис. 6.16. Рис. 6.17. За направляващ вектор на оста можем да изберем вектора ,
По условие иначе правите биха били успоредни. Нека е равнина, която съдържа правата и е успоредна на вектора и нека е равнина, която съдържа правата и също е успоредна на вектора . Тогава тези равнини имат уравнения и и нормални вектори и . Да допуснем, че векторите и са успоредни. Тогава съществува тяхна нулева линейна комбинация , при което поне един от коефициентите или не е равен на нула. Имаме
следователно векторът е успореден с вектора , с който от друга страна са взаимно перпендикулярни, понеже . Получихме, че векторът е едновременно колинеарен и ортогонален с даден ненулев вектор, което е възможно, единствено когато , което пък означава, е , понеже и не са успоредни по условие. По този начин установихме, че равнините и не са успоредни и следователно се пресичат в една права, която права очевидно се явява оста на двете кръстосани прави и .
За правата имаме направляващ вектор , а за правата имаме направляващ вектор . За вектора пресмятаме . Равнините и имат уравнения и , откъдето намираме общите уравнения и . Понеже за оста вече разполагаме с направляващ вектор , за да получим уравнението на тази ос остава да намерим една (коя да е) точка от . За тази цел търсим някакво частно решение на системата . Полагайки намираме и , следователно точката лежи върху оста , за която вече ос получаваме каноничното уравнение . Разстояние между две кръстосани прави. Ако правите и са кръстосани, то под разстояние между тези оправи се разбира дължината на отсечката между пресечните точки на оста с двете прави. Нека е равнина през правата , която е успоредна на направляващия вектор на другата права . Тогава правата е успоредна на равнината и следователно разстоянието между коя да е точка от и равнината е едно и също, равно на търсеното разстояние (рис. 6.6). Да разгледаме паралелепипеда, построен върху векторите , и , за който се явява височина (рис. 6.7). За обема на този успоредник разполагаме с два израза, единият чрез абсолютната стойност на смесеното произведение , а другият по известната формула за обем на паралелепипед – лице на основа по височина, , откъдето за търсеното разстояние между кръстосаните прави и намираме формулата . Това разстояние представлява най-малката дължина на отсечка, единият край на която лежи върху правата , а другият край лежи върху правата . Каталог: NVUMathLectures NVUMathLectures -> §16. Задачи от пресмятане на вероятности Съдържание NVUMathLectures -> Задачи от степенни редове Съдържание NVUMathLectures -> Лекция 29 §29. Системи диференциални уравнения Нормални системи оду NVUMathLectures -> Лекция 4 системи линейни уравнения Ранг на матрица. Теорема за базисния минор NVUMathLectures -> Задачи от пресмятане на детерминанти Съдържание NVUMathLectures -> Курсова работа по висша математика 1 за студенти задочно обучение NVUMathLectures -> Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери NVUMathLectures -> Лекция 1 комплексни числа и полиноми Определение и аритметични операции NVUMathLectures -> Задача Намерете производните на следните функции а б в г д е ж Изтегляне 0.55 Mb. Сподели с приятели:
|
