Лекция Теоретически основи на вълновата акустика



Дата19.12.2017
Размер177.48 Kb.




Лекция 1. Теоретически основи на вълновата акустика
Въведение

Отдавна е известно че акустичните вълни могат да се излъчват насочено. Още през първата световна война са правени опити за акустична подводна локация. По това време френския физик Пол Ланжвен показва че акустическите вълни могат да проникват в меките тъкани на човека, а също че могат да разрушават живите клетки. От 30-те години на 20 век датира интереса към приложение на акустичните вълни за терапия на различни заболявания. Тласък за възникване на акустическата диагностика дава разработената през втората световна война технология на бързодействащи импулсни електронни системи за обработка на радиолокационни сигнали. В настоящия момент на ултразвуково изследване или терапия се подлагат около 80 милиона души годишнс като броят им нараства всяка година с около 20%. По разпространеност на прилагане акустическите методи за диагностика се доближават до рентгеновата диагностика.

Някои основни приложения на акустиката в медицината, на които ще се спрем подробно в следващите лекции, включват:


  • УЗ двумерна визуализация(т. нар. ехография): използва се отражението на УЗ вълни от меките тъкани. УЗ ехография допълва информацията получена чрез магнитен резонанс или рентгеново лъчение. Ехографията има предимството, че е сравнително най-евтиния и безопасен метод за визуализация.

  • УЗ компютърна томография: дава тримерно изображение на органите, което изобразява локалните стойности на поглъщането или скороста на звука.

  • УЗ нелинейна визуализация: дава картина на нелинейните свойства на тъканите.

  • Доплеров скоростомер: за изследване динамиката на кръвния поток и движението на сърцето.

  • Ултразвукова хирургия: унищожаване на тумори в различни органи, чрез фокусиран акустичен лъч. Също в офталмологията, и в стоматологията.

  • Ултразвукова терапи: използва се топлинното и механично действие на УЗ вълни

  • Изследване на костната система за съдържание на минерали и за диагностика на остеропороза като се измерва скоростта и (или) затихването на звука в костите.

  • Еластография: визуализация на вътрешното напрежение в меките тъкани на тялото при приложено статично налягане. Презумпцията е че тъканите имат различна локална еластичност, а също променят твърдоста си при патологични състояния.

  • Литотрипсия: разбиване на камъни в жлъчката и бъбреците с помощта на акустична ударна вълна.

  • Стерилизация на прибори или имплантирани части в тялото чрез акустична кавитация.

По принцип интересът към приложение на ултразвука в медицината и биологията се обуславя първо от възможноста да се въздейства активно на живите тъкани и второ от възможноста да се получава информация за тези тъкани. Тази информация е закодирана в акустичното поле след неговото взаимодействие с тъканите. За да можем правилно и точно да извлечем тази информация трябва да сме в състояние да измерваме точно и анализираме акустичните полета.

Основните процеси свързани с приложението на ултразвука в медицината са три:

1. Разпространение на акустичните вълни в биологична среда, например човешкото тяло.


  1. Взаимодействие на акустичните вълни с компонентите на тази среда.

  2. Измерване и регистрация на акустичното поле падащо върху обекта и след взаимодействие с обекта.

Ще започнем с най-простия модел на среда за разпространение на акустична вълна – проста течност. Биотъканите (т.нар. softmatter), които са основния обект при медицинските приложения на акустичните вълни, съдържат голям процент течности и разтвори. В този смисъл течноста е добро първо приближение при моделиране на биотъкани. Известно е че в такава среда не се разпространяват напречне вълни а само надлъжни. Единствено костите не могат да се моделират с течна среда, но поради голямото поглъщане те не са характерен обект на изследване с акустични вълни. Разпространението на акустични вълни в течности е важно освен при изследване на биотъкани също така при УЗ сондиране на моретата и океаните с цел подводна локация и визуализация, а също за извличане на информация или за комуникация. Морската вода е електрически проводник, поради разтворените соли и следователно е лоша среда за разпространение на електромагнитни вълни. Звуковите вълни се разпространяват с много по-малки загуби в течности отколкото във въздуха, и затова са добро средство за сондиране на моретата.

Поради слабото поглъщане дълбочината на проникване на акустичните вълни в меките тъкани е около 100 дължини на вълната. В първо приближение уравненията на разпространение могат да се решават без отчитане на разсейване и поглъщане.


Основни уравнения


Ще разгледаме най-простия случай на линейно приближение на уравненията, които описват акустичните вълни в течности. Ще считаме, че преместването на частичките е пропорционално на силата, като течноста е идеална, без вискозитет и без топлопроводност. Неизвестните величини, описващи вълната са налягането p, плътността и скороста на частичките на средата v.

1) Уравнение за съхранение на масата (уравнение за непрекъснатост):

(1)

Смисълът на това уравнение е че потокът на масата ρν през фиксирана повърхност затваряща някакъв обем води до промяна във времето на плътноста в този обем (или на налягането, което е пропорционално на плътноста в линейно приближение). Тук с е скороста на звука в средата.



2) Линейно уравнение на движението:

(2)

Това уравнение изразява втория принцип на Нютон, че силата е равна на масата по ускорението. Тук уравнението е записано за единица обем.

3) Уравнение на състоянието

Видяхме че линейна акустична вълна се описва от налягането р и от скороста на частичките ν. Течностите обаче са свиваеми, макар и по-малко от газовете, затова също е неизвестна величина. Необходимо е да се добави още уравнението на състоянието свързващо р и . За да получим тази връзка можем да разложим зависимоста р=р() в ред на Тейлор по малката величина = ( - 0 )/ 0 = /0, където  е отклонението на плътноста от равновесната стойност. Действително в акустиката е малка величина даже за големи интензивности на вълната затова можем да се ограничим до втория порядък в разложението на Тейлър:

(3)

Скороста на звука се определя от израза:



с2 = (p/) (4)

След заместване в (3) получаваме:



p - p0 = А + (1/2)B2 +... (5)

където А=0 с2 и В=20 (c2/)

Безразмерната величина В/А е мярка за нелинейните акустични свойства на средата и се нарича коефициент на нелинейност. Течностите имат много по-голяма акустическа нелинейност отколкото газовете и затова нелинейните акустически ефекти в биотъканите също са големи.

Вълново уравнение

Без да изменяме физическия смисъл можем да въведем следните обобщени обозначения за скороста и времето:

(6)

В този случай броя на променливите намалява и уравненията (1) и (2) придобиват следния квазисиметричен вид:


(7)

Уравненията са квазисиметрични понеже първото уравнение е векторно и представлява в общия случай три уравнения за трите компоненти на скороста. Удобно е да се въведе скаларен потенциал на скороста, определен от равенството:

(8)

Тогава уравненията (7) се свеждат до вълново уравнение за потенциала и до връзка между налягането и потенциала:

(9)

Ако решим вълновото уравнение за потенциала ф, при определени начални и гранични условия, можем да определим р и u т.е. системата уравнения (7) и (8) дава решение на линейната акустика. Еквивалентна система от уравнения без потенциала на скороста се получава от вълновото уравнение за налягането и второто уравнение (7) т.е.:

(10)

От второто уравнение (9) следва важен извод за поведението на къси импулси в линейна еднородна среда без загуби. Ако интегрираме това уравнение за интервал от време, по-дълъг от импулса получаваме:

(11)

Средното налягяне за импулса е нула, тъй като за къс импулс потенциала ф1 в

произволна точка преди идване на импулса е равен на потенциала ф2 в същата точка след преминаване на импулса. Този резултат показва, че са невъзможни вълни само на сгъстяване или само на разреждане.

Хармонични вълни

Особен интерес представляват хармоничните вълни, които могат да се запишат в комплексна форма както следва:



(12)

След заместване във вълновото уравнени (10), което е валидно за хомогенна среда, за амплитудата на хармоничната вълна получаваме уравнението на Хелмхолц:



(13)

Уравнението на Хелмхолц е валидно за вълни в непрекъснат режим или за достатъчно дълги импулси. Нещо повече, това уравнение може да се използва за вълни с по-сложен спектър като първо се извърши Фурие разложение по хармонични вълни както следва:



(14)

Най-общо ако амплитудата рω е комплексна тя носи информация за фазата на вълната.




Интинзивност на акустичните вълни

От уравнения (7), като използваме теоремата на Гаус можем да получим следното интегрално уравнение:


(15)

Очевидно, че изразът [ρv.v] има размерност на енергия на единица обем. Затова акустическата интензивност, с размерност мощност на единица площ, се дава от израза:



I=pv (16)

Съответно плътноста на акустическата енергия се дава от формулата:

(17)

Интензивноста на звуковите вълни се дава от средната по време енергия пренасяна от вълната за единица време през единица площ, нормална на посоката на разпространение.



Връзка на параметрите на акустичната вълна със свойствата на средата

За плоска синусоидална вълна в едномерен случай имаме:



I=pv/2=p2/2c= v2c/2, (18)

където р=vc е налягането, v е скороста на частичките на средата, с е скороста на звука, е плътноста на средата.

Съответно преместването d и ускорението a на частиците на средата се дават от:

d=-v/iw (19)

a=-iwv (20)

В тези прости формули може да се открие аналогия със законите на електричеството. Имаме следните съответствия на величините от акустиката и от електричеството:



Акустика Електричество

скорост v ток i

налягане p напрежение U

преместване d заряд q

плътност  специфична индуктивност L

1/c2 специфичен капацитет С

c импеданс (L/C)1/2

Тази аналогия се обяснява с факта че уравненията описващи линейна акустична вълна без загуби са аналогични на телеграфните уравнения, описващи разпространението на електрически сигнали по кабел.

Величината Z=p/v=c e аналогична на електрическия импеданс и затова ще я наричаме акустически импеданс.

Типични стойности за , c и Z са дадени в Таблица1. Не бива обаче да се забравя, че биологическите тъкани могат да се оприличат на композитни материали, състоящи се от различни компоненти, в които значенията на тези параметри могат съществено да се различават от средните значенията за цялата тъкан.

Таблица 1




Вещество

Плътност(кг/м3)

Скорост (м/с)

Импеданс (кг/м2с)

10-6



вода

993

1500

1.516

кръв

1060

1530

1.62

мазнина

950

1450

1.38

черен дроб

1060

1560

1.65

кост

1200-1800

2700-4100

3.2-7.4

стомана

7900

5800

45.8

въздух

1.2

330

0.004

Класификация на УЗ вълни според стойностите на честотата f и на интензивноста I:

1) Акустичните вълни могат да се разделят на следните честотни области


  • област на човешкия слух f<20 kHz

  • нискочестотни вълни: 10 kHz - 100 kHz

  • средночестотни звукови вълни: 100 kHz - 10 MHz

  • високочестотни звукови вълни: 10 MHz -1 GHz

  • хиперзвук: 1 GHz - 1013 Hz

В медицинските приложения се използват честоти от първите три честотни диапазона.

2) УЗ вълни се разделят на следните диапазони по интензивност:



  • ниска интензивност: до 1.5 вт/см2 - за диагностика

  • средна интензивност: 1.5 до 3 вт/см2 – за терапия

  • висока интензивност: от 3 до 10 вт/см2 - биоефекти и хирургия.

В ултразвуковата диагностика се използват ниски интензивности, в терапията се използват средни интензивности, а високите интензивности се използват само за биологични изследвания на тъкани in situ.

Основно предимство на акустичните вълни в сравнение с електромагнитните е малката дължина на вълната, което позволява да се реализира визуализация с добра разделитилна способност, а също позволява фокусиране в малка област. Например дължината на вълната  във вода за 1 МНz е 1.5мм, а в областа на високите честоти варира от 150 до 1.5. Малките  обуславят лъчевия характер на разпространение на УЗ вълни.



Вискозна и топлопроводяща течност

За да отчетем визкозитета на течноста трябва да добавим в уравнението на движение (2) още един член както следва:

0(∂v/∂t) = (4/3)( ∂2v/∂x2) - ∂p/x (21)

Тук е коефициент на напречна вискозност. Вискозитета е основната причина за загуба на енергия на акустичните вълни.

Отчитането на топлопроводноста на течноста е важно когато трябва да се изчисли температурното поле в тъканите вследствие на нагряване с фокусиран акустичен сноп. При движението на кръвта в човешкото тяло трябва да отчитаме два вида топлопроводност: градиентна топлопроводност на неподвижна течност, която се дължи на температурния градиент в неравномерно нагрято тяло; конвективна топлопроводност на подвижна течност, която се дължи на отмиване на топлите слоеве от потока и зависи от скороста на потока на течноста. Затова кръвообръщението значително снижава локалната температура в даден орган. Кръвообръщението служи освен за захранване на тъканите с кислород също и за охлаждане.

В отсъствието на външни топлинни източници уравнението на топлопроводност има следния вид:



(22)

където С е специфичната топлоемкост а v е локалната скорост на кръвта. Вторият член в лявата част на уравнението отчита влиянието на кръвообръщението.

Вискозитета и топлопроводноста водят до необратими процеси, които са важни при анализа на загубите при разпространение на акустични вълни.

Поглъщане на акустични вълни

При разпространението на УЗ вълна амплитудата и намалява поради различни механизми на загуба на енергия. Ще разгледаме всички процеси, които определят поглъщането на УЗ вълни. Поглъщането на енергията на акустичните вълни довежда до нейното необратимо превръщане в топлина:



1) Класическо поглъщане на УЗ вълни (дисипация)

То е предизвекано от необратимите загуби на енергия вследствие на вискозноста и топлопроводноста на средата. Загубите от дисипация при разпространение на плоска бягаща вълна могат да се опишат с експоненциално поглъщане α както следва:



u(x,t) = u0 exp(-x)exp(iω(t-x/c)) (23)

Поглъщането, дължащо се на вискозитета на течноста 1 се дава от следната формула:

1/2 = 2/30c3 (24)

Вискозният коефициент на поглъщане 1 е право пропорционален на вискозитета на течноста.

Преноса на топлина от компресираните, по-топли области, към разредените по-студени области също води до необратима загуба на енергия и дава принос в коефициента на поглъщане. Може да се покаже че приноса на топлопроводноста в коефициента на поглъщане се дава от израза:

2/2 = K( -1)/2CP0c3 (25)

където К е коефициента на топлопроводност, CP е специфична топлина при постоянно налягане, а  е отношението на специфичните топлини при постоянно налягяне и при постоянен обем и също е мярка за нелинейноста на средата. Поглъщането дължащо се на топлопроводност обикновено е много по-малко отколкото вискозното поглъщане. Изключение правят течности с много висока топлопроводност каквито са течните метали. Поглъщането на звука в течности описвано от сумата на формулите (24) и (25) се нарича класическо поглъщане.
2) Аномално (релаксационно) поглъщане на УЗ вълна и

дисперсия на скороста

Още първите експерименти за проверка на класическото поглъщане, проведени през 1911 г. показали двойно по голямо поглъщане при определени честоти в интервала 120 kHz - 4 MHz. Било очевидно че съществуват и други причини на молекулно ниво, които не се отчитат от макроскопическия анализ.

По-късно било показано, че причина за аномалното поглъщане са релаксационните процеси на предаване на енергия от вълната към средата като енергията на постъпателното движение на молекулите (външни степени на свобода) преминава във въртеливи или колебателни трептения на молекулите, в структурни промени и др. (вътрешни степени на свобода). Най-общо релаксационните процеси представляват закъснението на системата спрямо сили които я отклоняват от равновесие или закъснението при връщане на системата в равновесие когато външните сили изчезнат. При акустичната релаксация равновесното състояние се нарушава в областите на свиване и разреждане на средата.

Релаксационните акустични процеси могат да бъдат различни видове според това за какъв процес се използва погълнатата акустична енергия.



  • колебателна релаксация – ако постъпателното движение на частиците се превръща в трептене на молекулите.

  • въртелива релаксация – постъпателното движение преминава във въртеливи степени на свобода.

  • електронна релаксация – възбуждат се електронните нива на атомите

  • структурна релаксация - придизвикват се промени в близкия порядък на молекулите, което води до промяна в структурата на течноста.

  • химическа релаксация - акустичната енергия се използва за протичане на химически реакции.

  • изомерна релаксация - акустичната енергия променя изомерното състояние на молекулите.

Общият израз, характеризиращ поглъщането на звука на честота  при единичен процес на релаксация има вида:

(26)

където А=(α3λ)max/ се нарича амплитуда на релаксацията. Фиг.1 помага да се разбере смисъла на формула (26). При ниски честоти параметрите на вълната се менят достатъчно бавно, така че процесът на преразпределение на енергията почти не се нарушава, и енергията преминала в средата се връща обратно във вълната с незначително фазово отместване. Поглъщането при това е малко. При нарастване на честотата връщането на енергията става с все по-голямо фазово отклонение и поглъщанито нараства. При честоти по-големи от честотата на релаксация параметрите на вълната се менят бързо и не успяват да нарушат термодинамичното равновесие на средата и затова малка част от енергията на вълната преминава във вътрешните степени на свобода на средата. При ω = ω0 поглъщането за един период α3λ достига максимум.

Фиг.1 (а) Релаксационно поглъщане (b) дисперсия на скороста на звука

(c) комбинация от класическо и релаксационно поглъщане

(d) сравнение на вискозен процес и релаксационен процес

Сумирайки (24), (25) и (26) получаваме обща формула за поглъщането:

(27)

Първият член в квадратните скоби характеризира поглъщането предизвикано от това че молекулите на средата се пренареждат в различни локални структури за крайно време, определено от вискозитета.

Вторият член, който обикновено е пренебрежимо малък описва загубите на енергия поради възникването на топлинен поток от областите с високо звуково налягане към областите с ниско звуково налягане.

Третият член в (27) дава общият случай когато трябва да сумираме повече от един вид релаксация.

Формула (23) може да се представи в следния вид:

(28)

Това равенство отново може да се сведе до вида u(x,t) = u0 exp(-x)exp((t-x/c)) ако въведем комплексна скорост зависеща от честотата:

(29)

Тук с0 е скороста при отсъствие на поглъщане в средата. Ако има поглъщане фазовата скорост става комплексна и зависи от честотата т.е. съществува дисперсия на скороста.

Експерименталните методики за измерване на поглъщането и на скороста много си приличат. И в двата случая се мери сигнала на входа на средата и на изхода. При поглъщането се измерва отслабването на интензивноста, а при скороста се измерва времето за преминаване на определено разстояние или промяната на фазата.

В акустичната компютърна томография на меките тъкани се изчисляват с и α в различни точки от изследвания обем и се получава съответна картина, която дава информация за състоянието на тъканите и органите.

Макар и по-малко разпространена акустичната диагностика на костите също използва измерване на с и α като могат да се установят отклонения от нормалното съдържание на минерали или промени в структурата предизвикани от болести, например остеопороза.

Поглъщането и скороста на звука за нормални биотъкани варира според биологическия вид, пол, раса, възраст и т.н. Известно е например че с възраста се изменя съдържанието на колаген в сърцето и черния дроб, а също съдържанието на вода в мозъка. Последното обяснява факта, че акустическото поглъщане в мозъка на малко дете е около три пъти по-малко от поглъщането в мозък на възрастен човек. Установено е също, че скороста на звука в млечна жлеза намалява с възраста.

Има значение също така дали измерванията се извършват in vivo или in vitro. По прицип измерванията in vivo са по-трудни и по-неточни. Друга оснавна разлика се получава от действието на кръвотока при измервания in vivo.

В таблица 2 са показани скоростите на УЗ вълна в някои материали, биологически течности и меки тъкани.

Таблица 2

Материал

Скорост м/сек

Биотъкан

Скорост м/сек

стомана

6000

мускул

1600

стъкло

5500

бъбреци

1560

плексиглас

2750

мазнини

1400

вода

1480

сухожилия

1750

каучук

1000

гръбначен мозък

1510

полистирол

2400

костна тъкан

3500

полиетилен

2005

зъби

3700

въздух

320

мляко

1500

Тъканите могат да се разделят на три основни групи според скороста на звука:


  1. Тъкани на белия дроб: малката скорост на звука се определя от високото съдържание на газове

  2. Костна тъкан: висока скорост поради това че средата е близка по свойства до твърдо тяло

  3. Всички останали тъкани са течни среди и меки (водоподобни).

В таблица 3 са показани значенията на величината /f2 за някои течности и газове при нормално атмосферно налягане и температура 200 С в мегахерцовия честотен зиапазон.

Таблица 3



Течности

/f2

10-13 s2/cm



Газове

/f2

10-17 s2/cm



вода

23

въздух

1.85

живак

6

водород

3.58

глицерин

2500

хелии

2.96

Вижда се че акустичното поглъщане в течности е значително по-малко от поглъщането в газове. Например поглъщането във вода е около три порядъка

по-малко от поглъщането във въздух. Това обяснява защо китовете могат да комуникират с инфразвуци в морето на десетки километри, докато ние се чуваме в атмосферата на десетина метра.


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница