Екстремум на функция. Числено интегриране

Екстремум на функция. Числено интегриране

1. 
   Минимизация на функции
   

X = FMINBND(FUN,x1,x2) намира локален минимум на Х на функцията FUN в интервала x1 <= X <= x2. FUN може да се зададе в m-файл като функция или като функция в inline обект.

X = FMINBND(FUN,x1,x2,OPTIONS) намира минимум с параметри, зададени в опцията OPTIONS, създадени с функцията OPTIMSET.

Примери: Да се намери минимумът на функцията x³-2.x-5

1. 
   Изчертава се графиката на функцията за да се уточни интервала, където функцията има минимум - може с ezplot, както е показано по-долу
   

>> y=x^3-2*x-5

y =

x^3-2*x-5

Вижда се, че минимумът на функцията може да се търси в [0, 2]. За по-лесно установяване на минимума трябва да се избере Tools/Data Cursor и да се кликне върху минимума на графиката (приблизително) за да се визуализират стойността на х, за която функцията има минимум и стойността на y, която представлява приблизителния минимум на функцията. По аналогичен начин се намира приблизителния максимум.

3. Извикваме функцията FMINBND за търсене на минимум в интервала ( в случая [0, 2]) и намираме стойността на х, за която функцията има минимум – нека тази стойност е xmin

4. Намираме стойността на минимума ymin като извикаме функцията f с аргумент получената стойност за xmin, т.e. ymin=f(xmin)
I начин: чрез анонимна функция:

>> y=@(x) x^3-2*x-5

y =

@(x)x^3-2*x-5

xmin =

ymin =

function y=f(x)

y=x^3-2*x-5
След записването на файла, извикваме fminbnd.

>> xmin=fminbnd('f',0,2)

y =

-6.0820

-5.5836

-5.8390

-6.0865

-6.0885

-6.0887

-6.0887

-6.0887

-6.0887

-5

y =

xmin =

>> ymin=f(xmin)

y =

-6.0887

-6.0887

>> y=inline(x^3-2*x-5)

y =

Inline function:

>> xmin= fminbnd (y,0,2)

xmin =

0.8165

>> ymin=y(xmin)

ymin =

-6.0887

>> f=@(x,y) y*sin(x)+x*cos(y)

f =

@(x,y)y*sin(x)+x*cos(y)

>>f= inline('y*sin(x)+x*cos(y)','x','y')

Inline function:

f =

>> f(pi,2*pi)

ans =

3.1416
Максимум на функция f може да се намери като:

1. 
   Функцията f се зададе обратна (със знак минус)
   
2. 
   Извиква се fminbnd за намиране на стойността на x, за която функцията има максимум. Нека тази стойност е maxx.
   
3. 
   За да се получи максимумът (нека това да е променлива maxf), трябва да се замести в f полученият аргумент maxx като: –f(maxх)
   

в реалната функция на мястото на х (това е израза за функцията без знак минус).

f =

maxx =

maxf =

2. 
   Числено интегриране.
   
   1. 
      Използване на Toolbar Symbolics Math (символно интегриране) – функция int
      

Примери: Да се намери интеграл от sin(x) в границите 0-2*pi; 0-pi;/2 0-pi

>> syms x

>> int(sin(x),0,2*pi)

ans =

0

>> int(sin(x),0,pi/2)

1

>> int(sin(x),0,pi)

2

Пример за интегриране на в граници от 0 до 1.

f =

>> int(f,0,1)

ans =

2

2. 
   Използване на квадратурни формули
   

>> fun=@(x) 1./(x.^3-2.*x-5)

fun =

@(x)1./(x.^3-2.*x-5)

ans =

Ако функцията се зададе като inline обект:

>> F = inline('1./(x.^3-2.*x-5)');

Интегрирането се извършва по следния начин:

>> Q = quad(F,0,2)

Q =

Използваните квадратурни формули в Matlab са: quad – използва адаптивна квадратура на Симпсон; quad1 (накрая има буква l, a не числото 1)– използва адаптивна квадратура на Gauss/Lobatto; dblquad – числено решаване на двоен интеграл; triplequad – числено решаване на троен интеграл. В изложението по-долу са дадени синтаксиса и примери на използване на функциите за интегриране, които се използват най-често. Повече подробности по приложението на функциите за числено интегриране може да се прочетат в помощната програма на Matlab.

Най-често използване на quad:

I начин: q = quad(fun,a,b)

където fun е подинтегралната функция, която може да се зададе като inline-функция или да се запише в m-файл; а и b са стойностите на долната и горната граница съответно. Грешката на изчисление е 10^-6. q – резултат от интегрирането.

II начин: q = quad(fun,a,b,tol)

tol – задаване на точност, ако потребителят е неудовлетворен от точността по подразбиране10^-6

Функцията quad1 може да се използва за изчисление с по-голяма точност и за гладки функции.

>> Q = quad(F,0,2,1e-3)

Q =

-0.4628

9 0.0000000000 5.43160000e-001 -0.0989460227

11 0.5431600000 9.13680000e-001 -0.1584111746

13 1.4568400000 5.43160000e-001 -0.2054245169

Q =

-0.4628
Бележки по въвеждане на inline – функцията:

>> Q = quad(F,0,2)

Ако функцията се зададе във файл f1.m със следното съдържание:

function y=f1(x)

y=1./(x.^3-2.*x-5)

Тогава интегрирането може да се извърши по един от следните 2 начина:

Q = quad(@f1,0,2) или Q = quad('f1',0,2). И в двата случая резултатът е:

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

y =

Q =

Използването на quad1 е по аналогичен на описания по-горе начин за функцията quad. Същият пример с използването на функция quad1:

>> F = inline('1./(x.^3-2*x-5)')

>> Q = quadl(F,0,2)

Q =

-0.4605
Намиране на двоен интеграл

>> f=@(x,y) (y.*sin(x)+x.*cos(y))

f =

@(x,y)(y.*sin(x)+x.*cos(y))

ans =

Най-често използване на dblquad:

I начин: q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

II начин: q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)

където fun(x,y) е подинтегрална функция на 2 променливи в правоъгълната област xmin <= x <= xmax, ymin <= y <= ymax и се задава по начина, описан по-горе за функцията quad. fun(x,y)трябва да приеме вектор х и скалар y и връща вектор от стойности за подинтегралния израз. Грешката на пресмятане (толерансът) tol по подразбиране е 10^-6.

Пример: Да се пресметне интегралът

I начин: Задаване на fun(x,y) като inline-функция:

>> F=inline('y*sin(x)+x*cos(y)')

F =

Inline function:

Стартиране на dblquad

>> Q = dblquad(F, pi, 2*pi, 0, pi)

Q =

function z = integr(x, y)

z = y*sin(x)+x*cos(y);

Стартиране на dblquad

>> Q = dblquad(@integr, pi, 2*pi, 0, pi)

Q =

>> f=@(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(x)

f =

@(x,y,z)y.*sin(x)+z.*cos(x)

ans =

I начин: triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)

II начин: triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
>> Q = triplequad(inline('y*sin(x)+z*cos(x)'),0,pi,0,1,-1,1)

Q =