-
Успоредник се нарича равнинна (двуизмерна) геометрична фигура, образувана от пресичането на две двойки успоредни прави.
Нейните срещуположни страни са успоредни отсечки с равна дължина. Срещуположните ъгли на успоредника са равни.
Теореми за успоредник:
В успоредник:
-
срещуположните страни са равни.
-
срещуположните ъгли са равни.
-
диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка.
Успоредник
Частни случаи на успоредник са:
-
правоъгълник — успоредник с четири равни ъгли — по 90 градуса всеки;
-
ромб — всички страни на успоредника са равни;
-
квадрат — всички страни са равни и всички ъгли са равни — по 90 градуса всеки.
Формули за успоредник
|
Лице
|
|
|
Периметър
|
|
|
Радиус на вписана окръжност
|
Неможе да се впише
окръжност
|
|
Радиус на описаната окръжност
|
Неможе да се oпише
окръжност
|
|
II.Задачи
Задача 1.
Отсечките, съединяващи средите на срещуположните страни на четириъгълника ABCD са с дължини 6 и 8,а единият диагонал е 10.Намерете лицето на триъгълника.
Решение:
Нека четириъгълникът е ABCD.Означаваме средите на страните AB,BC,CD и DA съответно с M,N,P и Q.Нека .Отсечките PN и QM са средни отсечки съответно в триъгълниците BDC и BDA.
Оттук следва, че отсечките PN и QM са успоредни и равни на .Следователно четириъгълникът MNPQ е успоредник.
Нека.Тогава .Да разгледаме със страни 3,4 и 5.От обратната теорема на Питагор следва,че .
Дали има връзка между лицата на MNPQ и ABCD?
От
От свойствата на подобните фигури следва, че
Аналогично следва, че
Оти Аналогично се доказва, че
От и
,т.е.
Следователно
Задача 2.
В равнобедрен трапец с голяма основа 4см е вписана окръжност с диаметър 2см.Да се намери лицето на трапеца.
Решение:
Нека ABCD е даденият трапец (фиг.1 ).
(фиг.1)
За да намерим лицето му, е достатъчно да намерим малката основа CD.Нека да означим с x. Тъй като трапецът е описан около окръжност, то (трапецът е равнобедрен).Оттук получаваме (1)
Ако построим перпендикулярите DH и
към AB, то
(по катет и хипотенуза). Тогава .
За ще приложим питагоровата теорема:
. Получаваме
Задача 3
В успоредник ъглополовящите на се пресичат в точка , лежаща на страната .Да се намерят дължините на страните и лицето на успоредника, ако
Решение:
От
От Питагоровата теорема .От и
следва,откъдето .Аналогично .
Така получаваме и
Задача 4
В ромб с дължини на диагонала и е вписана окръжност. Да се определи лицето на четириъгълника с върхове допирни точки на окръжността със страните на ромба.
Решение: (фиг.2)
Даденият ромб , като и (фиг.2 ).Центърът на вписаната в него окръжност е пресечната точка на диагоналите му (които са ъглополовящи на ъглите му ). Допирните точки на със страните му означаваме съответно с .Тъй като AB // CD, то точките лежат на една права. Аналогично следва, че точките лежат на една права. (радиуси). За да намерим ,е достатъчно да намерим и .
Разглеждаме - правоъгълен. От условието следва, че и .Тогава .Следователно .От правоъгълния триъгълник следва, че ( катет,лежащ срещу ).
От четириъгълника намираме . За лицето получаваме:
Задача 5
Отсечките, съединяващи средите на срещуположните страни на четириъгълника ABCD са с дължини 6 и 8,а единият диагонал е 10.Намерете лицето на триъгълника.
Решение:
Сподели с приятели: |