Факултет Природни науки и образование Катедра „Алгебра и Геометрия



страница1/5
Дата23.10.2018
Размер469.51 Kb.
  1   2   3   4   5

Русенски университет „Ангел Кънчев”
Факултет Природни науки и образование
Катедра „Алгебра и Геометрия”
по

Извънкласна работа
На ……………………..

Спец .ПОМИ

Курс: lV

Фак.номер:046109

Дата: 02.11.2010г. Проверил:…………... Гр.Русе Св.Билчев

  1. I.Теоретична част
    1.Елементи на четириъгълник

  2. Точките са върхове; -страни ;

  3. - вътрешни ъгли;

  4. - съответни външни ъгли;

  5. - диагонали

  6. - периметър;

  7. Свойства на вътрешните и външните ъгли на четириъгълник:

  8. 2.Видове четириъгълници.

  • Изпъкнал четириъгълник: точка - вътрешна за четириъгълника ABCD

  • Вдлъбнат четириъгълник: точка -външна за четириъгълника ABCD

  • Описан четириъгълник- около окръжност

  1. . Обратно , то в четириъгълника може

  2. да се впише окръжност

  • Вписан четириъгълник – в окръжност

  1. то около четириъгълника може

  2. да се опише окръжност.

  3. Теорема на Птоломей



  1. 3. Окръжност.



Определение за окръжност-множество от точки, които се намират на равно растояние r от дадена точка O, която се нарича център. Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде дефинирана също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му.



Кръг е множество от точки, вътрешни за окръжността, т. е. тези точки, които са на растояние по-малко или равно на r от центъра O.

Окръжността се характеризира със следните понятия:



  • Радиус- растоянието между центъра на окръжността до някоя от точките от окръжността

  • Диаметър- най голямото растояние между две точки от окръжността диаметър=2. радиус

  • Обикилка – големината, която се получава като се обиколи окръжност

  • пи: число равно на 3,141592. . . . . . , това е (обиколката)/(диаметъра) на всяка окръжност

  • Дъга – крива, която е част от окръжността. Дъгата на окръжността се измерва в градуси. Дъгата на цялата окръжност е 360˚

  • Хорда- права, която свързва две точки от окръжността

  • Сектор-нещо като парче от торта (ако оръжността ни е тортата)

  • Тангента(допирателна) към окръжността- права перпендикулярана на радиус и минаваща през точно една точка от окръжността

Обиколката на окръжност = . диаметър = 2. . радиус

Площ на окръжност = . (радиус) 2

Радиус на окръжност се означава с r а диаметър с d и обиколката с P.

P = . d = 2. . r

S = . r2

Площа на сектор К с централен ъгъл θ и радиус r

Ако ъгъла θ е в градуси тогава



Ако ъгъла θ е в радиани тогава

Вписан ъгъл

Вписан ъгъл е ъгъл, чийто връх е точка от окръжността, а раменете му са хорди от окръжността. Големината на вписания ъгъл е равна на половината от големината на дъгата, която той отсича.



Централен ъгъл

Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх е центъра на окръжността, а раменете му са радиуси на окръжността. Големината на централният ъгъл се равнява на големината на дъгата, която той отсича.



Външен ъгъл

Вънщен ъгъл е ъгъл, чийто връх е точка извън окръжността, а раменете му са две секущи. Големината на външния ъгъл е равна на половината от разликата на дъгите, които секущите отсичат.



Периферен ъгъл

Периферен ъгъл е този, който има за връх точка от окръжността, а раменете му са хорда от окръжността и допирателна към окръжността. Големината му се равнявя на половината на дъгата , която хордата о допирателната отсичат.



Ъгъл между две хорди

Когато две хорди се пресичат вътре в окръжността, големината на всеки от ъглите е половината от сбора на дъгите, които те осичат. В сила е и следната теорема.



Теорема- Равни хорди в една окръжност „стягат” равни ъгли и обратното е в сила.


Взаимно положение на две окръжности

1. Концентрични окр. са тези, които имат един и същ център но различен радиус

2. Ексцентрични окр. са тези окръжности, на които центъра е различен а и радиуса им може да бъде различен

4. Вписани и описани четириъгълници – условия, при които в четириъгълник може да се опише или впише окръжност
Теорема 1.

Около четириъгълник може да се опише окръжност тогава и само тогава,когато сборът от мерките на срещулежащите му ъгли е равен на .


Доказателство:

1)Нека четириъгълникът е вписан в окръжността , т.е , , и (черт. 1).Ъглите на четириъгълника са вписани в окръжността .От теоремата – Мярката на вписан ъгъл е равна на половината от мярката на принадлежащата му дъга следва,че, .Тогава

Аналогично за сбора от мерките на ъглите с

върхове и имаме



2) Нека сега за четириъгълника е

изпълнено .Да означим с описаната окръжност около. Ще докажем, че .

Да допуснем, че , и нека .

Четириъгълникът е вписан в окръжността

и затова .Тъй като по условие

, то следва, че .

Допускането означава, че е вътрешна или външна точка на окръжността .Ако е вътрешна за (черт.2а ) , то е външен за и затова , което противоречи на



(черт.2б) (черт.2а)

равенството . Ако е външна за (черт.2б ) , то >, понеже е външен за , и пак се получава противоречие.

И така допускането, че , води до противоречие.Следователно , т.е. около четириъгълника може да се опише окръжност, ако . При това условие , понеже сборът от мерките на ъглите в четириъгълника е равен на .

От доказаната теорема следва, че около успоредник може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато той е правоъгълник.Също така около трапец може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато той е равнобедрен.

Теорема 2.

В четириъгълник може да се впише окръжност тогава и само тогава,когато сборовете от дължините на срещулежащите му страни са равни.



Доказателство:

1)Нека четириъгълника е вписана в окръжност (черт.3 ). Да означим с допирните точки на със страните .Тъй като допирателните отсечки, прекарани през външна точка към окръжност, са еднакви, то . Като съберем почленно тези равенства, получаваме . Оттук следва, че т.е. сборовете от срещулежащите страни са равни.

2) Нека сега за четириъгълника е изпълнено .Да докажем, че в може да се впише окръжност.Възножни са два случая: и

a) Нека . Тогава от даденото условие следва, че , т.е. е делтоид (черт.4 )



(черт.3) (черт.4)


и са равнобедрени с обща основа на диагонала , а е ос на симетрия за делтоида. Нека ъглополовящата на пресича в точка . В такъв случай е равно отдалечена от страните на делтоида и следователно е център на вписаната в него окръжност.

б) Нека , като за определено считаме, че. От равенството следва, че.

Нека , , . От даденото условие получаваме, че .

Да означим с центъра на описаната окръжност около т.е. пресечената точка на симетралите на страните му. Тези симетрали разполовяват ъглите с върховете и на четириъгълника понеже и са равнобедрени. Следва, че еравноотдалеченаот страните на четириъгълника , т.е. явява се център на вписаната в него окръжност.


От теореми 1 и 2 следва, че около квадрата може да се опише окръжност и в него да се впише окръжност.

Центровете на двете окръжности съвпадат с пресечната точка на диагоналите на квадрата.



Теорема 3. (Теорема на Птоломей)

Сборът от произведенията на срещуположните страни на изпъкналия четириъгълник е по-голям или равен на произведението на диагоналите, като равенството е изпълнено тогава и само тогава, когато четириъгълникът е вписан.



Доказателство: Нека е даденият четириъгълник (черт.5). Върху лъча с начало върха съдържащ върха разглеждаме , такава, че произведението от дължините на отсечките и да е равно на дължината на единичната отсечка, т.е. . Аналогично върху лъчите с начало съдържащи съответно и , разглеждаме точки и такива, че и . Тъй като и имат по две страни пропорционални и ъглите между тях равни, те са подобни.Тогава


и тъй като , то

Аналогично



и

Като вземем под внимание, че коя да е страна на триъгълника е по- малко от сбора на останалите две страни, заключваме от , че



(1)

Като равенството е изпълнено тогава и само тогава, когато и лежат на една права и е между и .В (1) заместваме и с намерените за тях изрази и получаваме



, (2)

С което е доказано първата част от теоремата.

I.Нека в(2) а оттам и в (1) е изпълнено равенството.Тогава и лежат на една права и е между и .От подобието на двойните триъгълници , и , намираме и , като ъглите в десните страни на тези равенства са съседни. Следва, че

(3)

Следователно около четириъгълника може да се опише окръжност.

II. Нека е вписан в окръжност. В такъв сучай и от (3) намираме . И тъй като точките и лежат в различни полуравнини относно правата , то ъглите и са съседни. Следва, че точките и лежат върху една права. Тогава в (1),а оттам и в (2), е изпълнено равенството.

С това теоремата е доказана.



Теорема 4.

Ако и са дължини на страните и полупериметърът на вписан четириъгълник, то лицето му е .



Доказателство:

Нека е големината на ъгъла между първите две страни на дадения четириъгълник (черт.6 ). Тогава



Откъдето



(4)

За да докажем твърдението, достатъчно е да изразим , чрез страните на четириъгълника. Но



.

Оттук


Тогава от (4) последователно получаваме



откъдето като вземем под внимание, че

,

,

Окончателно намираме


.


Теорема 5.

Ако един четириъгълник е едновременно вписан и описан, то лицето му е равно на квадратен корен от произведението на страните.



Доказателство:

От доказателството на теорема 4 е известно, че



От друга страна, съгласно теорема 2 .Тогава



,

,

И получаваме





  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница