Глава 4. Ефективни портфейли

 

4.1. Зависимости между характеристиките на портфейла 

Портфейлът е съставен от множество ценни книги. За да се анализират свойствата на портфейла, трябва да се анализира ефекта от комбинирането на различни ценните книги.

Изследва се случая на портфейл, съставен от две ценни книги. Допуска се, че ценна книга1 има по-малко средна възвращаемост и стандартно отклонение или:

Обема на ценните книжа, относително измерени, участващи в портфейла трябва да е равно на 1:

Средната норма на възвращаемост зависи от пропорциите, инвестирани в ценни книги 1 и 2. Следователно, средната норма на възвращаемост на портфейла е равна на:  

 

Фиг. 4.1. Зависимостта на нормата на възвращаемост на портфейла от обема инвестиции по различните ценни книги

На фиг.4.1 е показана зависимостта между Е_р по вертикалната ос и Х₁ или Х₂ по хоризонталната ос. Изборът на портфейла се определя от стойността на Х_1, тъй като Х₂ веднага става определено от равенството Х₂=1 – Х₁. Алтернативно, ако се приеме Х₂ да се изменя, възвращаемостта на портфейла се определя еднозначно, тъй като Х₁ веднага се определя от равенството Х₁ = 1 – Х₂. Разглеждат се само положителни Xi, което означава, че инвеститорът не може да издава нови ценни книги.

Средната стойност на възвращаемостта на портфейла Е_р е линейно зависима от Х₁ (или Х₂). Стандартното отклонение_р е свързано също с обема на ценните книги като

Очевидно се изпълняват равенствата:

В частният случай, когато портфейла е съставен изцяло от една ценна книга, корелацията няма влияние. В общия случай _p зависи от тази корелация _12.

С
лучай 1

На фиг.4.2 а) линията АВ , показва зависимостта _р отбелязана по вертикалата и Х₁ (или Х₂) отбелязани на хоризонталната ос, когато ₁₂=+1. В този случай _р е линейна функция спрямо аргумента Х₁.

Тъй като е прието, че количествата на ценните книги в портфейла са положителни числа Х₁,Х₂ >0 и стандартните отклонения също са винаги положителни, ₁0, ₂0, следователно колкото е по-малко ₁₂, толкова по-малък ще е риска на портфейла, представен като дисперсията .

На фиг.4.2 б), в) и г) са показани зависимостите на _p при изменение на ₁₂ от 0,5 до 0,5. Случаите в) и г) са за отрицателна корелация. Графиките показват, че при определени стойности на X_i, стандартното отклонение _p на портфейла е по-малко от това на съответстващите го съставящи ценни книги ₁ и _2. В този случай се получава диверсификация.

 

Ф
иг. 4.3. Влияние на корелационния коефициент в равнината E_p(_p) 

На фиг.4.3 аг са показани случаите за корелация ₁₂ = +1,0; 0,5; 0; -0,5 в координатната система Е_р(_p). Съгласно случаи а) и б) се вижда, че всички комбинации на стойностите Х₁,Х₂ в диапазона Х₁ + Х₂ = 1 определят ефективни портфейли и няма доминиране на някой портфейл над друг.

При случаи в) и г) има такова доминиране. Само тези точки Е_р, _p, съставящи плътната линия и оформящи северозападната граница на кривата са ефективни.

Случаят на фиг.4.4 разширява разглежданията, като броят на ценни книги е 3, N=3. Портфейлът, съставен от ценни книги 1 и 2 формира ефективна граница Е_р, _p съгласно кривата 1 – 2 .

Портфейлът съставен от ценни книги 2 и 3 формира кривата 2 и 3. Аналогично портфейлът от ценни книги 1 и 3 формира ефективната граница по кривата 1 и 3.

Разглежда се портфейла, съставен от еднакви части на ценни книги 2 и 3. Той ще бъде представен в равнината E_p(_p) в т.А. Точка А, може да се разглежда като еквивалентна единствена ценна книга А.

Възможно е да се комбинира ценна книга А с някоя друга, например ценна книга 1 и да се формира нов портфейл, с нови количества инвестиции X_a и X₁. 

Например, прието е, че инвестицията е разделена на две равни части

Пропорцията Х_а изразена чрез изходните ценни книги означава, че

Поставя се задача да се оценят характеристиките на този комбиниран портфейл, т.е какви стойности на Е_р и _р има той?

Конкретните величини на Е_р и _р пряко зависят от корелацията между възвращаемостта на ценна книга А и тази на ценна книга1. Ако _a1=+1, то новият портфейл ще лежи на правата свързваща А и 1. Ако _a1 е различно от 1, то портфейла ще лежи над правата А1.

Ф
иг. 4.5. Влияние на коефициента на корелация върху характеристиките на портфейла

Всеки портфейл може да се разглежда като еквивалентна ценна книга. За случая на фиг.4.5 е прието, че т.А и т.В се представят от стойностите Е_р и _p на два портфейла. При комбиниране на двата портфейла А и В, резултатния портфейл ще има Е_р и _p, който ще се представи с точка, която лежи на някоя от линиите, свързващи А и В. Ако възвращаемостта на портфейли А и В са напълно корелирани, то _ab = +1 и новия портфейл ще се намира върху правата линия свързваща А и В. В другите случай кривите се намират на ляво от АВ правата. Всичко казано за случая на две ценни книги е валидно и за разглеждания случай на 2 обобщени портфейла. Характеристиките на портфейли А и В влияят на резултантния портфейл както следва.

Прието е, че Х_а е количеството финансови средства инвестирани в портфейл П_а, съответно Х_в е съответните пропорционални средства инвестирана в портфейл П_в,така че се изпълнява равенството за инвестицията

Х_а + Х_в = 1.

Отбелязано е, че

Трябва да се отчита, че общата стойност на инвестицията удовлетворява ограниченията.

Пропорцията X_i^C, на ценна книга i се изразява чрез съставните портфейли А и В като

В таблица 4.1 е представен пример с четири ценни книги N = 4, Х_а= 0,2 и Х_b =0,8. На фиг.4.6 е показва комбинацията от съответните ценни книги на двата портфейла П_а и П_b.

	Ха=0,2	Хb=0,8
Ценни книги (i)	Пропорция в А (Хia)	Пропорция в В (Хib)	Пропорция в С (Хic)
1	0	0,3	0,24
2	0,5	0,2	Xia Xa + XIb Xb 0,5.0,2+0,2.0,8=0,26
3	0,2	0,4	0,2.0,2+0,4.0,8=0,36
4	0,3 1	0,1 1	0,3.0,2+0,1.0,8=0,14 1,0

Вижда се, че с измененията на съотношенията на ценните книги в различните портфейли, промените на Х_i, i=1,N става линейно.

 

4.2. Областта _p , Е_р 

Всяка ценна книга може да се представи като точка в пространството Е_р, _p. Така съответно се представя всеки портфейл. В зависимост от ограниченията, които има инвеститора, само някои портфейли ще бъдат допустими за него. В общия случай всяка комбинация от два допустими портфейла, също ще бъде допустим портфейл. Всички комбинации на допустими портфейли дефинират общата дефиниционна област на портфейлите.

Начинът на дефиниране на допустимата област определя, че тя е изпъкнала. Примери за свойствата на изпъкналата допустима стойност са дадени на фиг.4.7.Случаите на фиг.4.7 а) и б) са допустими за изпъкнала дефиниционна област. Случай в) не е допустим, тъй като комбинацията от портфейли V и W, която е отбелязана с пунктирана линия не е включена в допустимата област, а съдържа комбинациите от двата допустими портфейла V и W.

П
ри отчитане на различни ограничения за инвеститора, видът на ефективната граница на портфейлите се променя. На фиг.4.8 са представени различни случай на ефективната граница на допустимата област от портфейли. Ефективната граница е тази част на допустимата област, която е доминираща над останалите допустими точки.

Фиг.4.8 Случай на ефективна граница на допустимите портфейли

 Примерите на фиг.4.8 показват, че ефективната Е_р, _p граница може да има и линеен вид, фиг.4.8, г).

Ако два портфейла се намират на линеен сегмент на ефективната граница Е_р, _p в равнината то техните възвращаемости Е_i са напълно корелирани.

Определение: Ефективни портфейли са тези, които доминират над останалите портфейли от допустимата област като се намират на северозапад в множеството на допустимите портфейли.

Характеристиките на различните портфейли определят допустима област, която е отбелязана с черно на фиг.4.8. С прилагането на правилото за северозапад, ефективната граница за случаите на фиг.4.8 е представена с по черната линия в горната част на допустимата област.

Едно алтернативно представяне на портфейла освен в равнината Е_р(_p), може да се направи в алтернативната равнина Е_р (V_p), където V_p е дисперсията на нормата на възвращаемост на портфейла, V_p= _p²

Ф
иг. 4.9. Представяне на допустимата област в двете равнини Е_р(_p) и Е_р(V_p).

 Между двете области има еднозначно съответствие. Едно от свойствата на равнината Е_р(V_р) е, че наклоните на кривите в Е_р(V_р) са по-малки. Но всяка точка, която лежи върху ефективната граница на крива от областта Е_р(_p) лежи и на ефективната граница на кривата от областта Е_р(V_р) , фиг.4.9.

Задачата на портфейлната оптимизация е да се намери множеството от портфейли, лежащи върху ефективната граница Е_р(_p) или Е_р(V_р) . След това от това множество инвеститора може да избере една единствена. Това означава да се реши съответна оптимизационна задача. Решаването на оптимизационна задача включва:

1. 
   Определяне на един или множество аргументи Х (алтернативи), които могат да бъдат решение на задачата.
   
2. 
   Дефиниране на ограниченията на задачата g(X), изразени чрез аргументите Х;
   
3. 
   Дефиниране на целева функция f(X), която трябва да се минимизира или максимизира.
   

В оптимизационната задача могат да се наложат различни ограничения на Х_i. Задължително условие е ограничението

което определя, че инвестициите по отделните ценни книги не може да е по-голяма от общата сума на инвестицията. В някой случай може да се допусне отрицателност на Х_i. В други случай може да се сложи долна и горна граница на X_i, LBX_i UB, където LB и UB са долна и горна граница. Най-често LB=0, което определя, че X_i е неотрицателно число, X_i ≥0.

Видът и броят на ограниченията се определя от конкретния случай и условията на работа на инвеститора. Целта на всеки инвеститор е да избере най-добрия портфейл, което означава, че този портфейл е допустим и лежи на кривата на преференции на инвеститора.


Кривите на преференции на инвеститора могат да имат вида от фиг.4.11 а, б). Обща особеност е, че те имат паралелен характер.  

Фиг. 4.10. Видове криви на преференции на инвеститор 

Задачата на инвеститора е да се намери тази допустима точка В, която лежи в допустимата област на портфейлите и на някоя крива на преференциите. Решението има две основни характеристики:

• 
  избрания портфейл ще е ефективен, т.е той ще лежи върху ефективната линия от допустимото множество на портфейлите;
  
• 
  в избраната точка В, ефективната граница и линията на преференциите на инвеститора са допирателни.
  

Тогава кривата на преференциите ще има уравнение:

Четирите криви на преференциите от фиг.4.10 а) ще имат аналитично описание както следва:

крива 1: V_p =₁+.E_p

крива 2: V_p =₂+.E_p

крива 3: V_p =₃+. E_p

крива 4: V_p =₄+. E_{p .} 

Коефициента определя наклона на кривата на преференция и е еднакъв за всяка линия. Стойността oпределя големината на хоризонталния отрязък от абсцисната ос V_p, фиг.4.10а), и е различен за всяка крива.

Коя линия на преференциите да се избере? Тази, която е най-високо, защото има най-голяма норма на възвращаемост E_p. Освен това се предпочита и кривата с най-малък отсек _i, или с най-малка дисперсия V_p , която определя риска за тази инвестиция. Следователно изборът трябва да следва правилото за “северозапад”.

Анализът показва, че целта на инвеститора е да минимизира , или = V_p - E_p ═> min . Следователно оптималния портфейл ще се намери от решаването на задачата.

,

където E_p = ,

Задачата за оптимизация на инвеститора е:

• 
  да се определят тези стойности Х_1,Х₂…Х_N, който минимизират целевата функция:
  

• 
  при удовлетворяване на ограничението .
  

Изведената задача за намирането на оптималния портфейл определя, че изборът (преференциите) на инвеститора се определят от относителната тежест на възвращаемостта Е_р от портфейла спрямо вариацията на портфейла V_p. Това съотношение се определя от големината на коефициента , който инвеститорът избира. При по-голямо , интересът на инвеститора към Ер е по-голям, отколкото към Vp.

На фиг.4.11 са представени криви на преференции при различна стойност на коефициента . Съгласно фиг.4.11 а), б) тези случаи отразяват факта на голяма стойност на , което прави избора нечуствителен към риска V_p. При , инвеститорът просто търси max на дохода от портфейла Е_р, което е еквивалентно на търсене на минимум на отрицателната доходност, min – (Е_р).

Случай г) е когато и инвеститора търси min (V_p),т.е. минимум на риска. Стойността на определя важността от избора на съотношението между Е_р и V_p.За всяка определена стойност , решението на оптимизационната задача дава ефективен портфейл. В съответната на точка на решението, кривата на преференцията на инвеститора ще бъде тангираща към допустимата област в равнината Е_р (V_p).

Две са важните свойства на ефективната граница на допустимия регион:

• 
  наклонът във всяка точка на ефективната граница е различен;
  
• 
  наклонът е вертикален в основата (началото) на кривата и прогресивно намалява до хоризонтална крива в най-горната точка.
  

Ако инвеститорът решава последователно оптимизационната задача, при различни стойности на, очевидно ще се получат като решения всички ефективни портфейли при допустимата област, т.е.

дава ефективната граница на областта (Е_р, _p) или областта(Е_р,V_p).

От изчислителна гледна точка портфейлният анализ се различава по вида на използваните ограничения. Задължително е присъствието на ограничението

за ресурсите на инвестицията.Така се дефинира базова, основна задача

 

(Б)

min -

.

При дадена стойност на , решението на (Б) дава една точка (един портфейл) в равнината Е_р(V_p). При повтаряне на процедурата с различно се получават останалите точки от ефективната граница. За да не се решава многократно задача (Б) при различни е необходимо решенията X_i да се изразят като явна функция на или

.

(В) .

Всеки конкретен портфейл ще се определи чрез заместване на в задача (В), където е прието, че K_i и k_i са известни. В частния случай =0 се получава

или K_i определя състава на портфейла с минимален риск.

На фиг.4.12 е показано изменението на решенията Х_i, i=1,3 при промяна на . Портфейлът П_с е получен при , а портфейлът П_r , при (голямо число). Всеки ефективен портфейл съответства на междинна стойност на в диапазона и може да се разглежда като комбинация от портфейлите П_с и П_r, тъй като Х_i зависи линейно от .

Зависимостта на възвращаемостта на портфейла Е_р от също е линейна :

Ф
иг. 4.12.

Изразът е средната стойност на възвращаемостта на портфейла при минимална вариация . Изразът отразява допълнителната възвращаемост, която се добавя в резултат от поемане на риск, нормирана за единица . Ако поне две ценни книги имат различна доходност Е_i, стойността на Е_р ще нараства с нарастването на . Ако не се наложат ограничения за неотрицателност на Х_I, то с увеличаването на Х ще нараства Е_р.

Икономическият смисъл на отрицателните Х_i означава, че инвеститорът емитира допълнително тези ценни книги, от което общата сума на началната инвестиция нараства. Този случай не винаги е допустим като решение за инвеститора.

Зависимостта между V_p и стойностите са квадратични. Това се получава чрез заместване на X_i =K_iI+k_iв израза за V_p:

Стойностите в скобите са числа. Изборът показва, че V_p е квадратична функция на .

Определянето на K_i и k_i не е лесна изчислителна процедура и е необходимо те да се изчислят с компютър.

 

4.4. Ограничения 

Реалните задачи на портфейлна оптимизация изискват допълнителни ограничения в базисната задача (Б). Тези ограничения може да са равенства или неравенства, например:

а) ограничения равенства

или X₁=0,10

или 2Х₃ – Х₁=0 ;

б) неравенства

или Х₅ (слаби неравенства)

или Х₆+Х₆<0,8.

Колкото повече ограничения има в задачата за портфейлна оптимизация, толкова по-малко е свита допустимата област.

Включването на ограничения от вида неравенства, прави задачата на портфейлна оптимизация задача на математическо програмиране. Например ако инвеститора не може да емитира ценни книги то тогава трябва да се сложи условиeто за неотрицателност X_i. Това формално добавя към базовата задача (Б) N ограничения от типа неравенство.

По обща форма от базовата задача е “стандартната” задача:

min -

за всички възможни стойности на

при ограничения:

L₁;

(S) L_2;

L_N;

където U_i и L_i са съответно горна и долна граница за стойността X_i на инвестицията в ценна книга i. В частен случай може да има граница като L₅ =0 , U₅=, т.е може да се закупува произволен обем ценна книга 5, но не може да се емитира. Обикновено L_I , U_i определят точен диапазон, например:

Ако Х₁₂ трябва да има стойност 0, 12, то се полага Х₁₂=0,12.

Н
а фиг.4.15 са показани резултатите за изменението на Х_i от за случая на три ценни книги при наличие на ограничения L_i, U_i.

Фиг. 4.13. Изменение на X_i от при наличие на ограничения

 Разликата за решения на задача (S) със случая на задача (Б) е, че тук има точки на прекъсване и изменение наклона на кривите X_i(), i=1,3.

Точките от графиките при голяма стойност на ₁, показва съдържанието на портфейл, който има най-голяма средна доходност Ер.

Н
а фиг.4.13 е показана ефективната граница на задача (S) в областта (E_p,V_p) и портфейлите изчислени за стойностите 0,. Самата ефективна граница няма точки на прекъсване.

 Стандартната задача (S) на портфейлна оптимизация е трудно да се реши аналитично. Решението се получава с компютри. Така се определя ефективната граница и точките X_i, при които графиките X_i () се прекъсват. Всеки ефектен портфейл е комбинация от портфейлите на две съседни прекъсвания. Съответно между два съседни портфейли от ефективната граница , зависимостите между Е_р, V_p и са:

• 
  зависимостта между Е_р и е линейна;
  
• 
  зависимостта между V_p и е квадратична;
  
• 
  зависимостта между V_p и Е_р е квадратична;
  

Даването на заем се разглежда като инвестиране в определена ценна книга при която няма риск. По определение, средната норма на възвращаемост е равна на пазарната лихва. Тъй като доходът е сигурен, дисперсията на възвращаемостта, съответно риска е 0. Вземане рискови ценни книги на заем може да се разглежда по няколко начина:

За текущи нужди вземането на заем се разглежда като емитиране на рискови ценни книги. С други думи, отрицателна стойност на X_i ще се свърже със съответно количество Х₁ на ценна книга 1 с индекс i=1. С индексът i=1 в теорията на портфейла се обозначават заемите.

Следователно

ако Х₁ >0 , инвеститорът дава заем,

ако Х₁ <0 , инвеститора взема на заем,

ако Х₁ =0 , не се взема или дава на заем.

Характеристиките на такива ценни книги от вземане и даване на заем са

Ковариациите на ценна книга Х₁ е нула, тъй като доходът от нея е детерминиран

Тук е изследван ефекта от комбиниране на две ценни книги, една от който е безрискова. По определението за портфейл, характеристиките му за доходност Е_р и риска _p при две ценни книги са:

Тъй като ценна книга i=1 е безрискова, то ₁=0

Следователно риска на портфейла е

_p² = Х₂²₂² или _p = Х₂₂

Ф
иг. 4.15. Характеристики на портфейл от рискови и безрискови ценни книги

 На фиг.4.15 са показани характеристиките на портфейлите, съдържащи един рисков и един безрисков актив в различни пропорции. Комбинирането на безрискови с рискови ценни книги определя такива характеристики Е_р, _p на портфейла, че тези стойности лежат на правата линия между двете ценни книги рискови и безрискови. Комбинацията между тези две точки се получава чрез инвестиране с различни съотношения на Х₁ и Х₂. Комбинацията над точката Е₂ за рисковата ценна книга се получава чрез заем на средства и на инвестиране на заема в рисковите ценни книги Е₂. В общия случай, рисковата ценна книга може да бъде еквивалентна на портфейл с много рискови активи. Включването на безрискови ценни книги създава нова допустима област на портфейли с нова ефективна граница в равнината Е_р, _p. Тази нова област е линейна съгласно отсечката pR^*, фиг.4.16. За случая на фиг.4.16 не са разрешени отрицателни величини X_i на ценните книги. Допустимата област Е_р, _p. е защрихованата при отсъствие на безрискови активи. Когато такива има, допустимата област се разширява. Определянето на портфейла R^* e важно, тъй като всяка точка между p и R^* впоследствие може да се получи по-лесно, като се използва свойството, че pR^* участъка е линеен. Съответно всяка междинната точка се получава като линейна комбинация на отделните портфейли p и R^*. 

 На фиг.4.17 е показан случая на разрешени отрицателни величини на Xi. Тъмната област е допустимата област на портфейли Е_р, _p при отсъствие на безрискови активи. При наличие на рискови ценни книги ефективната граница се изменя в права линия. Тази линия може да се изрази като комбинация на точките p и R^*. В точка p, инвеститора дава всичките си средства в безрисков актив т.е той дава заем. За точките между p и R^*, той инвестира частично в R^* и частично дава заеми. За т. R^*, всички инвестиции са в портфейл R^* съответно портфейла се състои изцяло от рискови ценни книги. За точките над R^* инвеститора взема заем и инвестира в портфейл R^* съставен изцяло от рискови ценни книги. Портфейлът R^* е “оптимална комбинация на рисковите ценни книги”. Инвеститорът, съгласно кривите си на предпочитание може да избере съответна точка върху линията pR^*, което ще дефинира единствен избран портфейл.

Фиг. 4.18. Избор на портфейл при различни преференции на инвеститора

 На фиг.4.18 са показани три случая на избор на инвеститор, където са разрешени отрицателни X_i , т.е. емитиране на X_i (вземане на заем в размер X_i от инвеститора).

Фиг. 4.19. Избор на портфейл при изискване за неотрицателност на X_i

 На фиг. 4.19 са показани три случая когато X_i не може да е отрицателно. Разликата в избора от фиг.4.18 в) е, че оптималния портфейл лежи на ефективната граница, фиг.4.19 в), а не върху правата pR^* от фиг.4.18 в).

На фиг.4.20 е представено влиянието на рисковия актив за вида на линията pR^*. Ако се направи избор между безрискови активи представени с точка p и рискови активи представени с т.1, портфейлите ще лежат на линия p-1, фиг.4.20. Ако се избере рискова точка 2, портфейлите ще лежат на отсечка p-2. Очевидно най-добра комбинация е P-R^*,тъй като тя доминира от северозапад над линии p-1 и p-2, фиг.4.20. 

 Точката R^* е важна точка за инвестирането при наличието на безрисков актив. Тя дава оптимална комбинация на рисковите активи. Съществуването на оптимална комбинация на рисковите активи опростява избора. Инвеститорът трябва само да избере колко да даде заем или колко да вземе заем. Останалата част ще се инвестира в портфейл R^*.Така определянето на т. R^* е самостоятелно и не зависи от индивидуалните преференции на инвеститора за отношението риск – доход.Това отделяне на рискови и безрискови активи е дефинирало т.н. теорема на разделянето.

Зависимостите и разделянето при наличие на безрисков актив е очевидно. При анализа на решението на оптимизационната задача за портфейла (Б) и (S) беше определено, че стойностите на инвестициите Х_i в ценна книга i линейно зависят от коефициента.Този коефициент определя съотношението риск – доход, който се приема от съответния инвеститор.

Х₁ = K₁+k₁

(SS) Х₂ = K₂+k<sub>2

. . .</sub>

Х_N = K_N+k_N .

Ефективният портфейл за малки стойности на риска се определя при . При наличие на безрисков актив, това означава че цялата инвестиция е вложена в него, X_i=1 и че инвеститора дава заем.Тъй като Х₁=K₁=1, то трябва K₂K_n=0, тъй като ограничението за инвестицията е . Следователно система (SS) добива вида:

 

Ф
иг. 4.21. Изменение на големината на инвестициите при промяна на коефициента Х

 На фиг.4.21 е показан състава на портфейла при различни . Портфейлът R^* е оптимален при . За , портфейлът е комбинация от R^* и точката p, в която инвеститора дава на заем и инвестира в безрисков актив. За , портфейлът е съставен от рисковите активи на R^* и взет заем, който се влага отново в R^*.

Трябва да се отбележи свойството, че при изменение на , отношението се запазва винаги постоянно.

Резултата от фиг.4.21 не се променя и при изискването за неотрицателност на инвестициите в ценни книги X_i0 за стандартната задача на портфейлната оптимизация (S).