Лекция 9
§9. Изследване на функция
1. Растене, намаляване и екстремуми. В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна. Основните резултати тук са следствия главно от формулата на Тейлър, което още веднъж подчертава нейното особено значение в математическия анализ.
Да припомним, че функцията се нарича монотонно растяща (намаляваща) в отворения интервал , когато за всеки , , е изпълнено . Ако неравенствата са строги, то функцията се нарича строго монотонно растяща (намаляваща). Някои функции, например линейните, са монотонни над цялата си дефиниционна област. За други, по-сложно устроени функции, дефиниционната област обикновено се разделя на интервали, във всеки от които функцията е монотонно растяща или намаляваща.
Нека е диференцируема в и , . Тогава от теоремата на Лагранж за крайните нараствания имаме , следователно знакът на разликата , който определя монотонността, изцяло зависи от стойностите на производната. По този начин непосредствено се вижда верността на
Твърдение 9.1. Нека функцията е диференцируема в отворения интервал . Тогава
1) Ако , за всяко , то функцията е монотонно растяща (намаляваща) в .
2) Ако , за всяко , то функцията е строго монотонно растяща (намаляваща) в . ■
Пример 9.1. Да разгледаме функцията (Рис. 9.1).
Рис. 9.1.
За производната намираме , следователно при , функцията е строго монотонно растяща, а при , функцията е строго монотонно намаляваща. От тук в частност следва, че в точката функцията има строг локален минимум, а в точката има строг локален максимум.
Константите са единствените функции, които са едновременно монотонно растящи и монотонно намаляващи съгласно даденото определение. Естествено, не съществува функция, която да бъде едновременно строго монотонно растяща и строго монотонно намаляваща.
Верността на следното твърдение е очевидна.
Твърдение 9.2. Нека функцията е непрекъсната в някаква -околност , , на точката и диференцируема в тази околност, с изключение евентуално на самата точка (диференцируема във всеки от интервалите и ). Тогава, ако за и за , то е точка на строг локален минимум за . Аналогично, ако за и за , то е точка на строг локален максимум за . ■
Твърдение 9.2 се прилага ефективно, когато екстремалната точка е ъглова или рогова за графиката на .
Пример 9.2. Функцията има локален минимум в точката (Рис. 9.2), която е рогова точка и и .
Рис. 9.2.
Тук не е диференцируема в .
Типичната ситуация обаче на строг локален екстремум в дадена точка е когато функцията е диференцируема в тази точка и можем да приложим теоремата на Ферма, според която в този случай . Анулирането на производната е само необходимо условие за екстремум.
Пример 9.3. За функцията , в точката имаме , но не е точка на екстремум.
Точките, в които дадена функция е диференцируема и производната се анулира се наричат критични за функцията. Теоремата на Ферма показва, че локалните екстремуми трябва да се търсят сред критичните точки.
Следващата непосредствена задача е да установим достатъчни условия за проверка дали дадена критична точка е точка на екстремум както и да определим вида на въпросния екстремум.
Твърдение 9.3. Нека е критична точка за функцията , . Нека освен това има непрекъсната трета производна в интервала , , и . Тогава има екстремум в , при което:
1) Ако , то е точка на строг локален минимум за .
2) Ако , то е точка на строг локален максимум за .
Доказателство. По формулата на Тейлър, за всяко от имаме
(9.1) ,
където . Дали е точка на екстремум зависи от поведението на разликата за в някаква достатъчно малка околност на . За тази разлика, от (9.1) намираме
(9.2) .
По условие третата производна е непрекъсната, следователно е ограничена в затворената -околност . Условието гарантира, че в някаква (евентуално по-малка от първоначалната) -околност , , величината има същия знак като ,
, .
Нека . Тогава съгласно (9.2), за всяко и ще бъде изпълнено , понеже множителят , следователно в този случай се явява точка на строг локален минимум за функцията . Аналогично се получава, че ако , то се явява точка на строг локален максимум. ■
Горното твърдение е частен случай на теорема 9.1, която ще докажем след малко. От друга страна това е най-често прилаганият частен случай и освен това доказателството на тази обща теорема не съдържа нови идейни елементи в сравнение с доказателството на твърдение 9.3 и затова то беше формулирано и доказано отделно.
Пример 9.4. Да намерим локалните екстремуми на функцията от рис. 9.1. Пресмятаме
и .
Критичните точки определяме от уравнението , което има две решения и . Пресмятаме , което означава, че е точка на строг локален минимум и , което означава, че е точка на строг локален максимум, което всъщност бяхме установили по други съображения.
Следващата теорема обобщава твърдение 9.3, откривайки възможност за изследване на случаите, когато .
Теорема 9.1. Нека за някое естествено число функцията има непрекъснати производни до ред в интервала , , и нека
, .
Тогава
1) Ако числото е нечетно, то функцията няма локален екстремум в точката .
2) Ако числото е четно, то е точка на локален екстремум, при което
2.1) Ако , то е точка на строг локален минимум за .
2.2) Ако , то е точка на строг локален максимум за .
Доказателство. Това доказателство повтаря замисъла на доказателството на твърдение 9.3. По формулата на Тейлър, за всяко от имаме
(9.3)
където . Дали е точка на екстремум зависи от поведението на разликата за от някаква достатъчно малка околност на . За тази разлика, от (9.3) намираме
(9.4) .
По условие -вата производна е непрекъсната, следователно е ограничена в затворената -околност . Условието гарантира, че в някаква евентуално по-малка от първоначалната -околност , , величината има същия знак като ,
, .
1) Да разгледаме случая, когато числото е четно. Нека . Тогава съгласно (9.4), за всяко и ще бъде изпълнено , понеже множителят , следователно в този случай се явява точка на строг локален минимум за функцията . Аналогично се получава, че ако , то се явява точка на строг локален максимум.
2) Нека сега е нечетно. И в този случай вторият множител от дясната страна на (9.4) не си сменя знака, когато . Тук обаче първият множител има различен знак от двете страни на , за и за . Следователно разликата сигурно има различен знак от двете страни на и тази точка не може да бъде точка на локален екстремум. ■
Ако точката попада в клаузата 1) на теорема 9.1, то се явява частен случай на инфлексна точка.
Пример 9.5. Да разгледаме функциите и в точката (Рис. 9.3)
Рис. 9.3.
В първия случай имаме , . Тук е нечетно и не е точка на локален екстремум. Във втория случай имаме , . Тук е четно и освен това , следователно е точка на строг локален минимум.
2. Изпъкнали функции. Съществуват различни определения за изпъкнали функции. В някакъв смисъл всичките тези определения са еквивалентни, но не се покриват напълно. Тук ще приведем геометрично определение, използващо взаимното разположение на графиката на дадена функция и допирателните към нея, което означава, че по необходимост ще изискваме разглежданите функции да бъдат диференцируеми.
Определение 9.1. Нека функцията е диференцируема в околност на точката . Казва се, че е изпъкнала надолу (нагоре) в , когато в някаква (евентуално по-малка от изходната) околност на графиката на лежи над (под) допирателната за . Ако функцията е диференцируема в отворения интервал и е изпъкнала надолу (нагоре) във всяка точка , то се казва, че е изпъкнала надолу (нагоре) в интервала .
На рис. 9.4 е изобразена функция, която е изпъкнала надолу в интервала .
|
|
Рис. 9.4.
|
Рис. 9.5.
|
На рис. 9.5 е изобразена функция, която е изпъкнала нагоре в интервала .
Пример 9.6. Функцията е изпъкнала надолу в дефиниционната си област . Функцията е изпъкнала нагоре в дефиниционната си област .
Ако функцията е изпъкнала надолу (нагоре) в точката и в някаква околност на единствената обща точка между графиката на и допирателната за е точката , то се казва, че е строго изпъкнала надолу (нагоре) в точката . Ако функцията е строго изпъкнала надолу (нагоре) във всяка точка от интервала , то се казва, че е строго изпъкнала надолу (нагоре) в . Типичният случай на изпъкналост на дадена функция е строгата изпъкналост.
Линейните функции са единствените, които са едновременно изпъкнали надолу и изпъкнали нагоре. Естествено, не съществува функция, която да бъде едновременно строго изпъкнала надолу и строго изпъкнала нагоре.
Уравнението на допирателната за е , следователно изпъкналостта на функцията зависи от знака на разликата . Ако в някаква околност на имаме , то функцията е изпъкнала надолу в точката и ако в някаква околност на , то функцията е изпъкнала нагоре в точката . Знакът на тази разлика също се изследва с помощта на формулата на Тейлър. Съгласно тази формула, ако има непрекъсната втора производна в някаква околност на , то
,
за някое между и , следователно разликата , можем да запишем във вида
(9.5) .
От представянето (9.5) фактически следват всичките достатъчни условия за изпъкналост.
Твърдение 9.4. Нека има непрекъсната втора производна в околност на точката , при което . Тогава функцията е строго изпъкнала надолу (нагоре) в точката .
Доказателство. Нека . Тогава, поради непрекъснатостта на в , всичките стойности на втората производна в някаква цяла околност на ще бъдат положителни. Сега от (9.5) следва, че в същата околност ще имаме , при което равенството ще е налице само за , което означава по определение, че е строго изпъкнала надолу в точката . Другият случай се изследва аналогично. ■
От твърдение 9.4 веднага следва, че ако , за всяко от интервала , то функцията се явява строго изпъкнала надолу (нагоре) в .
По същия начин се доказва и
Твърдение 9.5. Нека функцията има непрекъсната втора производна в интервала , при което , за всяко . Тогава е изпъкнала надолу (нагоре) в . ■
Да се върнем към формулата на Тейлър
.
Както знаем, събираемите от нулев и първи ред формират допирателната линия към графиката на функцията в точката (Рис. 9.6),
.
Рис. 9.6.
Ако добавим и събираемото от втори ред, ще получим уравнението на допирателната парабола
,
която е истинска парабола, само ако . Линейните функции имат характерно поведение относно монотонността. Една линейна функция е навсякъде монотонно растяща или навсякъде монотонно намаляваща. Квадратните функции имат характерно поведение относно изпъкналостта. Ако , , е квадратна функция, то , следователно при квадратната функция е навсякъде строго изпъкнала надолу, а при , е навсякъде строго изпъкнала нагоре. От рис. 9.6 се вижда, че в точката функцията е строго намаляваща, понеже допирателната права е графика на функция със същото свойство и е строго изпъкнала надолу, понеже допирателната парабола е графика на функция със същото свойство. Ако , то допирателната парабола се изражда в допирателна права. Ако е точка на строг локален екстремум, то се явява връх на допирателната парабола и нейният вид напълно съответства на вида на екстремума. В този случай се явява точка на строг локален екстремум и за .
Инфлексните точки се отнасят към изпъкналостта по същия начин, както екстремумите се отнасят към монотонността.
Определение 9.2. Нека функцията е диференцируема в околност на точката . Казва се, че е инфлексна точка за , когато не е нито изпъкнала надолу нито изпъкнала нагоре в точката .
Пример 9.7. Точката е инфлексна за функцията .
От определението и от твърдение 9.4 веднага следва верността на
Твърдение 9.6. Нека функцията има непрекъсната втора производна в околност на точката и нека е инфлексна за . Тогава . ■
Ако обаче , от това все още не следва, че е инфлексна точка.
Пример 9.8. За функцията имаме , но точката не е инфлексна за , понеже очевидно е навсякъде строго изпъкнала надолу.
Теорема 9.2. Нека за някое естествено число функцията има непрекъснати производни до ред в интервала , , и нека
, ,
при или при . Тогава
1) Ако числото е нечетно, то е инфлексна точка за функцията .
2) Ако числото е четно, то е точка на изпъкналост, при което
2.1) Ако , то е строго изпъкнала надолу в .
2.2) Ако , то е строго изпъкнала нагоре в .
Доказателство. Това доказателство повтаря по същество идеята на доказателството на теорема 9.1. По формулата на Тейлър, за всяко от имаме
(9.6)
където . Дали е инфлексна точка или точка на изпъкналост зависи от поведението на разликата за от някаква достатъчно малка околност на . За тази разлика, от (9.6) намираме
(9.7) .
Както при доказателството на теорема 9.1 установяваме, че за от някаква (евентуално по-малка от първоначалната) -околност , ,
.
1) Да разгледаме случая, когато числото е четно. Нека . Тогава съгласно (9.7), за всяко и ще бъде изпълнено , понеже множителят , следователно в този случай функцията е строго изпъкнала надолу в точката . Аналогично се получава, че ако , то функцията е строго изпъкнала нагоре в .
2) Нека сега е нечетно. И в този случай вторият множител от дясната страна на (9.7) не си сменя знака, когато . Тук обаче първият множител има различен знак от двете страни на , за и за . Следователно разликата сигурно има различен знак от двете страни на , което означава, че точката е инфлексна за функцията . ■
Пример 9.9. да разгледаме функцията и точката , за която имаме, , . Тук е четно и освен това , следователно е строго изпъкнала надолу в точката .
Типичната ситуация на инфлексна точка е, когато и .
3. Асимптоти. Ако е налице някое от условията
, , , ,
то се казва, че правата е вертикална аисмптота за графиката на функцията .
Пример 9.10. Да разгледаме функцията (Рис. 9.7).
Рис. 9.7.
В този случай правата е вертикална асимптота, понеже
.
Също така правата е вертикална асимптота за графиката на функцията и за графиката на функцията , понеже
, и .
Определение 9.3. Правата се нарича наклонена асимптота за графиката на функцията при , когато
.
Ако , то асимптотата се нарича хоризонтална.
От определението следва, че
и ако такова съществува, то
.
Пример 9.11. За примера от рис. 9.7 имаме
,
.
Следователно правата е наклонена асимптота за графиката на функцията при . Същата права е наклонена асимптота за графиката на функцията и при .
В общия случай една функция може да има различни асимптоти при и при .
Сподели с приятели: |