Oпределение: Многостен една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида
Oпределение: Многостен една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида.
Височина на пирамидата е отсечката, единият край на която е върхът на пирамидата, а другият е проекцията му върху равнината на основата.
Височината, на която и да е околна стена от върха на пирамидата, към основния ръб се нарича апотема.
Определение: Пирамида с основа правилен многоъгълник и равни околни ръбове се нарича правилна.
Теореми: Върхът на пирамида се проектира в центъра на описаната около основата окръжност, тогава и само тогава, когато:
- всички околни ръбове сключват с основата равни ъгли
или
- всички околни ръбове сключват с височината на пирамидата равни ъгли.
Теореми: Върхът на пирамидата се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност тогава и само тогава, когато:
- всички двустенни ъгли при основата са равни
или
- всички апотеми в околните стени на пирамида са равни
или
- всички апотеми на околните стени на пирамида сключват равни ъгли с височината на пирамидата .
Теорема: Две околни стени сключват с основата на пирамидата равни ъгли тогава и само тогава, когато върхът на пирамидата се проектира върху ъглополовящата на ъгъла, определен от пресечниците на тези равнини с равнината на основата.
Повърхнина на пирамида
Лицето на околната повърхнина на правилна n-ъгълна пирамида е:
, къдетоk е апотемата, а Р е периметъра на основата.
Обемът на пирамида е , къдетоВ е лицето на основата, а Н е височината на пирамидата.
1) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб а = 6 см и околен ръб = 5 см. Да се намери лицето на околната, пълната повърхнина и обемът на пирамидата.
Решение:
2) Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб а = 4 см и околен ръб = 6 см. Да се намери лицето на околната и пълната повърхнина на пирамидата, както и нейният обем.
Решение:
3) За правилна триъгълна пирамида с лице на околната повърхнина и височина . Да се намерят основният и околният ръб на пирамидата.
Решение:
H 2 =
и стигнахме до решаването на системата при изразяване на а2 от второто уравнение и като го змести в първото се получава
Полагайки се получава квадратното уравнение:
3.х2 +2.23.х – 657 = 0
D = 2500 = 502
x = 9 =>
a = 2
4) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб 2 см. Намерете лицето на околната повърхнина и обемът на пирамидата, ако:
а) двустенният ъгъл при основен ръб е α;
б) околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл β.
Решение:
а) Двустенният ъгъл при основен ръб е равен на линеиния ъгъл ОМ V
=> , a
, тогава лицето на околната повърхнина е
и обем
б ) =>
От питагорова теорема за ΔОМV =>
1) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб а = 1 см и околен ръб = 1 см. Да се намери лицето на околната, пълната повърхнина и обемът на пирамидата.
2) Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб а = 2 см и околен ръб = 3 см. Да се намери лицето на околната и пълната повърхнина на пирамидата, както и нейният обем.
3) Да се намерят основният и околният ръб на правилна триъгълна пирамида с лице на околната повърхнина и височина . .
4) Всички ръбове на четириъгълна пирамида са равни на 2. Да се намерят пълната повърхнина и обемът u.
5) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб см. Намерете лицето на околната повърхнина и обемът на пирамидата, ако:
а) двустенният ъгъл при основен ръб е 60o;
б) околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл 30o.
.
6) Ъгъл между две съседни околни стени в правилна триъгълна пирамида е β. Да се изразят ъгълът между околният ръб и основата и обемът на пирамидата, ако околния ръб е 1.
7) Дадена е правилна четириъгълна пирамида с ъгъл между две съседни околни стени φ и височина Н. Да се намери:
а) ъгълът между околен ръб и основа изразен чрез φ
б) обемът на пирамидата.
8) Височината на правилна триъгълна пирамида е Н, а ъгълът между два околни ръба е 60o.
а) Докажете, че пирамидата е правилен тетраедър и намерете обема му;
б) Докажете, че отсечката, свързваща средите на околен ръб и срещуположният му основен ръб е перпендикулярна на тези ръбове и да се намери дължината u.
9) Всички ръбове на правилна триъгълна пирамида са равни на 2 см
а) да се намери дължината на отсечката, съединяваща кой да е връх на пирамидата и медицентъра на срещуположната стена
б) да се намери дължината на отсечката, съединяваща средите на срещуположните ръбове на пирамидата и се докаже, че това е ос-отсечка им.
10) Лицето на пълната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида е S . Двустенният ъгъл при основата е β . Да се намери обемът на пирамидата.
11) Дадена е правилна триъгълна пирамида.
а) Да се намери тригонометричната връзка между ъгъла между околен ръб и основа и ъгъла между два околни ръба.
б) Да се намери околната повърхнина на пирамидата, ако ъгълът между околните ръбове е α и R е радиусът на описаната около околна стена окръжност.
12) Дадена е правилна триъгълна пирамида с двустенен ъгъл при основен ръб равен на α и височина Н. Да се намерят тригонометричната връзка за ъгъла между два околни ръба и α и обемът на пирамидата.
13) Да се намери тригонометричната връзка за ъгъла между два съседни околни ръба, ако ъгълът между околен ръб и основата е α, за:
а) правилна триъгълна пирамида;
б) правилна четириъгълна пирамида
14) В правилна четириъгълна пирамида VАВСD точката М е среда на VА, а N дели ръба BV в отношение 3:5, считано от върха V. Успоредната проекция на правата МN , с проектиращо направление правата VС , върху равнината на основата на пирамидата дели ръба АD на отсечки, едната от които е по-голяма от другата с 2 см.
a ) Да се намери основният ръб на пирамидата.
б) Да се намерят повърхнината и обемът на пирамидата, ако височината u е 3 см.
15) Ъгълът между два съседни околни ръба на правилна четириъгълна пирамида е β. Разстоянието от центъра на основата до околна стена е 2. Изразете ъгъла между околна стена и основа и да се намери окoлната повърхнина на пирамидата.
16) Дадена е триъгълна пирамида АВСР, на която околните ръбове АР =1 см, ВР =2 см и СР = 3 см са взаимно перпендикулярни. Да се намерят повърхнината и обемът на пирамидата.
17) Основата на пирамида е правоъгълният ΔАВС с катети АС = 5, ВС = 12, и връх V. Околната стена ВСV е перпендикулярна на основата АВС,
((АСV ),(АВС))= ((ABV),(АВС)) и ръбът AV сключва с равнината на основата ъгъл 60o. Да се намери обемът на пирамидата.
18) Дадена е пирамида АВСV с основа равнобедрен ΔАВС АС=ВС=10см и АВ=12см. Околните ръбове AV = BV, ъгълът между околния ръб С V и основата АВС е 30o, а ъгълът между равнините (АВV ) и (АВС) е равен на 45o. Да се намери обемът на пирамидата.
19) Основата на пирамида е правоъгълен триъгълник с хипотенуза 13 см и катет 5 см. Всички околни стени сключват с основата ъгли равни на 60o. Да се намерят обемът и повърхнината на пирамидата.
Верните отговори са:
1) ;
2)
3) а = 6 ,
4)
5) а) S =6.см2; V = 3см3б) S = 9 см2; V = 2. см3 6) ако търсеният ъгъл е х, то ;
7) а)
8) а) ; б)
9) a) ,б)
10)
11) a)
12)
13) a ) ; б)
14) а) ; б) S 1 =144см2, V =64см3
15)
16) V = 1см3 ; S1 = 9см2 17)
18) см3 19) S = 60см2; S1 = 90см2 ; V =20. см3