ГЛАВА 8
ДЕФИНИЦИЯ ЗА ПСЕВДОАСИМПТОТИ НА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ. ЕДИН КРИТЕРИЙ ЗА СЪЩЕСТВУВАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ С ПСЕВДОАСИМПТОТИ И АСИМПТОТИ
ПРЕДИСТОРИЯ НА ПРОБЛЕМА
Повод за дефиниране на понятието “ПСЕВДОАСИМПТОТИ НА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ” и за написване на тази глава и извършване на посочените изследвания е съдържанието на следната задача от НСОМ’02 ,която се проведе на 18.05.2002 г. В Югозападния Университет “Неофит Рилски” в Благоевград:
Задача 3, група “Б”(Технически Университети): Нека е два пъти диференцируема,като за всяко Да се докаже,че f(x) няма асимптоти.
Решение на задача 3, група “Б”(Технически Университети), НСОМ’02 (според материалите на Журито на НСОМ' 2002):
От условието следва, че за . Полагаме за . Тогава: , т. е. е стрoго изпъкнала в интервала . От неравенството получаваме . Ако , то , което е противоречие. Следователно, няма асимптота при . Аналогично се процедира при .
Второ решение на задача 3,група “Б”(Технически Университети), НСОМ’02:
Лесно се доказва фактът,че 2 функции: f1(x) и f2(x) = f1(x) + ax + b,които се различават само в линейните си части, имат един и същ характер спрямо своите наклонени асимптоти,т.е.или имат такива,или нямат. Ето защо,без нарушение на общността ще приемем,че дадената в условието на задачата функция удовлетворява условията: f(0) = f’(0) = 0. Тогава след двукратно интегриране на даденото неравенство получаваме:
Означаваме дясната страна на неравенство (3) като и разглеждаме функцията . Очевидно тя е изпъкнала: g”(x) > 0 и следователно удовлетворява неравенството:
От това неравенство следва:
+
Преобразуваме лявата част на последното неравенство:
.
Допущаме, че f(x) има наклонена асимптота ax + b при , тогава границата на лявата част на последното неравенство при ще бъде равна на 0.Намираме границата на дясната част на (5) с помощта на системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0:
Стигнахме до очевидно невъзможното неравенство: 0 , което доказва, че f(x) няма асимптоти при . Аналогично се доказва,че f(x) няма асимптоти и при . С това доказателството е завършено.
ДЕФИНИЦИЯ ЗА ПСЕВДОАСИМПТОТИ НА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ
Нека функцията , x > x0 е дефинирана при x > x0. Както е добре известно, необходимото и достатъчно условие да съществува асимптота за кривата при е да съществува границата:
при фиксирано к. Известно е също така,че при доказване на необходимостта на горното условие, к се намира по единствен начин:
Дефиниция за псевдоасимптота. Нека функцията е дефинирана при x > x0.Предполагаме,че втората граница съществува,а първата граница не съществува (в смисъл на крайна стойност). Тогава правата а с уравнение y(x) = k x ще наречем псевдоасимптота за функцията f(x) при .
Забележка 1.Аналогично може да се дефинира псевдоасимптота при .
Забележка 2.Примери за функции с псевдоасимптоти са функциите lnx, ln(1+x) и др.
Сега ще изследваме поведението на функцията , получена при втория начин на доказателство на задача 3, група “Б”(Технически Университети), НСОМ’02 .Това е функция с псевдоасимптота,тъй като:
Фиг.1 показва графиките на функцията и ,когато x се изменя от 0 до 2.
Фиг.1
Фиг.2 показва графиките на функцията и ,когато x се изменя от 0 до 10.
Фиг.2
Фиг.3 показва графиките на функцията и ,когато x се изменя от 0 до 1000.
Фиг.3
Правим извода,че при достатъчно големи х в мащаб x:y = 1:2 графиките на двете функции се наслагват една върху друга.Подобно свойство се наблюдава и при вече споменатите логаритмични функции lnx, ln(1+x). Тази особеност на логаритмичната функция също лежи в основата на използуването на логаритмичните таблици: не се работи с големи числа.
ЕДИН КРИТЕРИЙ ЗА СЪЩЕСТВУВАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ С ПСЕВДОАСИМПТОТИ И АСИМПТОТИ
Ще докажем следната
Теорема 1. Нека е два пъти непрекъснато диференцируема функция. Тогава:
1) Ако, x0,функцията f(x) няма асимптоти при при ;
2) Ако , 0 f(x) има псевдоасимптота, но няма асимптота;
3) Ако f(x) има асимптота при.
Забележка. Аналогично можем да формулираме и да докажем теорема за критерий (достатъчно условие) за съществуване на псевдоасимптоти и асимптоти на диференцируеми функции при ;
Доказателство на теорема 1.
1) От условието следват неравенствата (след двукратно интегиране):
;
Тогава: при и,следователно,
функцията f(x) няма асимптоти при .
2). Нека,0. Интегрираме тези неравенства:
arctgx - .
От получените неравенства правим извода,че съществува , тъй като f’(x) е монотонно растяща (f”(x)>0) и ограничена. Записваме f (x) с формула на Тейлор от нулев ред: , откъдето имаме: . Без ограничение на общността, можем да приемем, че: f(0) = 0. Разглеждаме производната: . Имаме: . Тогава: , производната на функцията е положителна, тя е монотонно растяща и ограничена отгоре, т. е. съществува границата , т. е. f (x) има псевдоасимптота при . От друга страна, , . С други думи, функцията е монотонно растяща като функция на х и монотонно растяща като функция на аргумента следователно . От тези неравенства правим още един извод за числото . Доказателството, че няма асимптоти, е посочено в началото.
3) Нека. Интегрираме тези неравенства получаваме при
(6)
Тогава от посоченото по-горе доказателство в случай 2) следва,че функцията има псевдоасимптота,т.е. съществува . Остава да докажем, че съществува границата: .
Функцията е монотонно намаляваща: :.
Следователно трябва да докажем, че тя е ограничена отдолу. Имаме следните съотношения: . Последната неопределеност е близка по стойност до неопределеността , тъй като и вече видяхме, че . Имаме: . От условията на разглеждания случай следва, че . Следователно е ограничена и границата съществува. С това доказателството е завършено.
ГРАФИКИ ЗА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ С ПСЕВДОАСИМПТОТИ И АСИМПТОТИ
-
Разглеждаме случая: .
Намираме: =.На фиг.3 и фиг.4 показваме графиките на f(x) и ,когато х се изменя от 0 до 10и от 0 до100000,когато 2 графики се наслагват една върху друга,въпреки,че .
Фиг.3 Фиг.4
-
Разглеждаме случая: .
Тогава:
=
.
На фиг.5 и фиг.6 показваме графиките на f(x) и нейната асимптота,когато х се изменя от 0 до 10и от 0 до100,когато двете графики също се наслагват една върху друга.
Фиг.5 Фиг.6
ФОРМУЛИ ЗА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ С ПСЕВДОАСИМПТОТИ И АСИМПТОТИ, ПОЛУЧЕНИ С ПОМОЩТА НА СИСТЕМАТА ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА MATHEMATICA 4. 0
-
Формули за функции с псевдоасимптоти
Последователно интегрираме 2 пъти с помощта на системата за компютърна алгебра MATEMATICA 4.0:
В тази формула Hypergeometric2F1[a, b, c, z]е т.н. хипергеометрична функция;тя сепредставя чрез следния ред:. Тази функция е решение на т. н. хиперболично диференциално уравнение:. След второто интегриране получаваме следния клас функции с псевдоасимптоти:
където: HypergeometricPFQRegularized[, , , , , , z] е т.н. регуляризирана обобщена хипергеометрична функция. Функцията се представя с развитието си в ред по следния начин:. С Gamma е означена известната гама – функция Г(х).
2. Формули за функции с асимптоти
Последователно интегрираме 2 пъти с помощта на системата за компютърна алгебра MATEMATICA 4.0:
Интегрираме втори път :
Получаваме следния клас функции с асимптоти:
УЧЕБЕН САЙТ НА ТЕМА “ИЗСЛЕДВАНЕ ПОВЕДЕНИЕТО НА ФУНКЦИИ С ПСЕВДОАСИМПТОТИ И АСИМПТОТИ”
Анна В. Томова, Мария П. Николова
Висше Военноморско Училище “Н. Й. Вапцаров” – Варна, Р.България
Сайтът с автори Анна В. Томова, Мария П. Николова може да се разгледа на адрес в Интернет: http://free.bol.bg/annalidia
Учебният сайт е създаден за обучение на студенти и курсанти при провеждане на практическо занятие на тема: “Изследване поведението на функции с псевдоасимптоти и асимптоти”. Написан е на езика HTML.
Навигационната лента на сайта съдържа следните хипервръзки:
Начална страница | Въведение | Дефиниции | Критерий за псевдоасимптоти и асимптоти | Класове функции с псевдоасимптоти и асимптоти | План за провеждане на практическо занятие | Графики на функции с псевдо асимптоти | Графики на функции с асимптоти | Изводи | Литература
В страницата Дефиниции се въвежда дефиниция на понятието псевдоасимптота за функция на една независима променлива. Това понятие разширява знанията на обучаемите за асимптоти от материала, изучаван по “ Висша математика”.
В Web страницата Критерий за псевдоасимптоти и асимптоти се анонсира един критерий за съществуване на псевдоасимптоти и асимптоти за диференцируеми функции, който разделя два пъти непрекъснато диференцируемите функции на три групи: функции без асимптоти,функции с псевдоасимптоти и функции с асимптоти.
Поради централното място, което този критерий заема, ще дадем съдържанието му и тук:
Критерий (достатъчно условие) за съществуване на псевдоасимптоти и асимптоти на диференцируеми функции.
Теорема. Нека е два пъти непрекъснато диференцируема функция.Тогава:
1)Ако,x0,функцията f(x) няма асимптоти при при ;
2)Ако , 0 f(x) има псевдоасимптота, но няма асимптота;
3) Ако f(x) има асимптота при.
Забележка. Аналогично можем да формулираме и да докажем теорема за критерий (достатъчно условие) за съществуване на псевдоасимптоти и асимптоти на диференцируеми функции при ;
В Web страницата Класове функции с псевдоасимптоти и асимптоти с помощта на системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 след двукратно интегриране излагаме формули за класове специални функции с псевдоасимптоти и асимптоти.
Web страницата «План за провеждане на практическо занятие по математически анализ на тема “Изследване поведението и построяване на графики на функции с пседоасимптоти и асимптоти” с помощта на система за компютърна алгебра” включва следните задачи за изпълнение от обучаемите:
-
Теоретична част: обучаемите предварително са присъствували на лекция и са се запознали със съдържанието на темата и доказателството на критерия 1.1. Преподавателят обръща внимание на основните идеи и посочва съществуването на твърде широк клас елементарни и специални функции с псевдоасимптоти. Подчертава се сложността на пресмятанията и практическата полза за намирането на формулите с помощта на системи за компютърна алгебра.
-
Предлага се на обучаемите сами да намерят формули за функции с псевдоасимптоти и асимптоти.
-
Обучаемите построяват графики за получените функции в т. 2.
-
Правят се сравнения между графиките на функциите и се обясняват разликите в поведението им спрямо техните псевдоасимптоти или асимптоти.
-
Ако се разполага с няколко системи за компютърна алгебра, правят се сравнения между резултатите, получени с тях при едни и същи задания.
-
Изводи: разсъждава се върху възможността за допускане на грешки и неточности при работа със системи за компютърна алгебра, констатирането и отстраняването им . Изтъкват се предимствата на работа със системи за компютърна алгебра за получаване и илюстриране на сериозни математически резултати.
Web страница: Графики на функции с псевдо асимптоти. Вариант : елементарни функции
На тази Web страница се предлага на обучаемите да направят своя избор между две функции с псевдоасимптоти, да разгледат конкретните им формули и да обяснят графичното поведение на функциите спрямо техните псевдоасимптоти в различни по дължина интервали на изменение на независимата променлива х. На фиг. 2 и фиг. 3 показваме две такива графики за случая
, т. е. при l = ¼. Функцията има псевдоасимптота, но няма асимптота. За този частен случай : , т. е. l = ¼ или , след две интегрирания с помощта на системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 получаваме формула за следната функция с псевдоасимптота:
Намираме стойността на интересуващата ни граница (1): = .
Чертаем графиката на функцията и на нейната псевдоасимптота за стойности на х в два интервала: [1,10] (фиг.1) и [1,100000000] (фиг. 2.). В последния случай графиката на функцията и графиката на нейната псевдоасимптотата са почти неразличими.
Фиг.1.Когато х се изменя в интервала [0, 10], ясно се забелязва, че графиката на функцията се отдалечава от тази на нейната псевдоасимптота при нарастването на х.
Фиг. 2. При значително големи х двете графики - на функцията и на нейната псевдоасимптота са почти неразличими.
Web страница: Формули и графики за диференцируеми функции с асимптоти. Вариант: специални функции
Разглеждаме случая: ,т.е. при l = 2. След две интегрирания с помощта на системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 получаваме формулата за следната специална функция с асимптота и намираме двете граници (1) :
и (2):.Построяваме графиките на функцията и нейната асимптота в интервала [1,5] (фиг. 3).
Фиг. 3.
Web страница: Изводи
Сравняваме поведението на двете функции, разгледани в предидущите Web - страници. Както и очаквахме, едва при значителни стойности на аргумента графиката на функцията с псевдоасимтота и тази на нейната псевдоасимптотата са неразличими, докато при функцията с асимптота това се наблюдава при неколкократно по-малки стойности на х.
Графики на функции с асимптоти
Разглеждаме случая: , т.е. при l = 2. Функцията е с асимптота. На фиг. 4 показваме графиката на функцията и на нейната асимптота. Както се очаква при сравнително малки х разликата между двете графики е пренебрежимо малка.
Фиг. 4. За стойности на х в интервала [0,5] разликата между двете графики става пренебрежимо малка.
Изводи
Сравнява се поведението на функциите с псевдоасимптоти и асимптоти, разгледани в предидущите страници. Както и очаквахме, едва при значителни стойности на аргумента графиката на функцията с псевдоасимптота и тази на нейната псевдоасимптотата са неразличими, докато при функцията с асимптота това се наблюдава при значително по-малки стойности на х.
В заключение отбелязваме доказателството на критерия за съществуване на функции с псевдоасимптоти и асимптоти е извършено аналитично.Построяването на графиките, както и намирането на посочените функции е направено с помощта на системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0. Приложението на системите за компютърна алгебра все повече и повече осъществява получаването на сериозни математически резултати, както и тяхното онагледяване и в този смисъл трябва да бъде демонстрирано от преподавателите по математика пред обучаемите във всички степени на обучение.
1>
Сподели с приятели: |