Задач (10 точки) Равносилност. Решете уравненията:, където а е параметър

Пиратските образи са получени чрез симетрия относно правата d. Но... са допуснати грешки. Колко е броят на грешките? Посочете ги с номера само върху левия образ с цветен молив /или химикал/?

Решете уравненията:

2. 
   , където а е параметър.
   

В ABC ъглите BAC = 80 и ACB = 60. Точката М е вътрешна за триъгълника и е такава, че MAC = MCA = MBC = AMB.

a)Намерете мерките на ъглите в триъгълниците ABM, BCM и CAM.

б) Симетралата на отсечката BM пресича страната BC на триъгълник ABC в точка P. Отсечките AP и BM се пресичат в точка Q. Докажете, че AM = QM.

Да се намерят всички двойки естествени числа p и q, само едното от които е просто и за които е в сила равенството: p⁴ + 2008q² = q⁴ + 2008p².

Двама души играят следната игра: Първият избира произволно число измежду числата 1, 2, 3, 4, 5 или 6 и го съобщава. Вторият си избира число измежду същите 6 числа, събира го с числото на първия и съобщава резултата. Първият избира число измежду дадените 6 числа , събира го с получената до момента сума, съобщава резултата и т.н. Играта продължава докато някой от тях получи сумата N.

А) Ако N = 8, с кое число трябва да започне първият играч, за да спечели?

Б) Ако N = 50, с кое число трябва да започне първият играч, така че както и да играе втория, първия винаги да печели?

В) Можем ли да познем по числото N, дали първият играч може винаги да печели, независимо от играта на втория играч? Обосновете отговора си!

Задача 6. (10 точки) По течението или срещу течението на реката.

Спортист излязъл от базата за тренировка с лодка в 10 часа и 15 мин. с намерение да се прибере не по- късно от 13 часа на същия ден. Известно е, че в спокойна вода, спортистът гребе със скорост 3км в час, а скоростта на течението на реката е 1,4 км в час. На какво най- голямо разстояние по реката може да се отдалечи спортистът от базата, ако на всеки 30 минути гребане, той почива 15 минути и има право да се върне назад само след почивка?

Награждаването на първенците ще се състои на 22.05.2007 от 18:00h по време на празничния концерт на МГ в зала „Опера”