Одних, что это число бесконечно, а других- что
Изтегляне 18.02 Kb.
|
|
Задача, которую ставит и решает Архимед, выражается очень просто: определить число песчинок в пространстве вселенной. Из текста самого трактата мы узнаем и причину, побудившую его разработать эту тему: он хочет рассеять ложное мнение одних, что это число бесконечно, а других— что, хотя оно и конечно, но большего представить себе невозможно. Повидимому, вопрос этот под57 нимался в ученых кругах древней Греции и, вероятно, имеет свою историю, нам, к сожалению, не известную. Но мы знаем, что и в более глубокой ■ древности люди питали пристрастие к большим числам.
Если мы обратимся к вавилонянам, то, как показывают изданные Гильпрехтом в 1906 г. матема- ' ' 4
тические таблицы, они свободно обращались с огромными числами, выражая их по сексагезимальной системе. В одной из таблиц приведены делители и частные числа 608 - |- 10 • 607. В настоящее время его, дравда, нетрудно вычислить: 607 (60 + 10) = 67.107.7 • 10 = 67.7 • 108 = = 279 936.7-108 = 195 955 200 000000. Египтяне не были так искусны в вычислениях, » явно предпочитая геометрию, но и у них, при отсутствии далеко идущей нумерации, встречаются попытки • фигурального выражения больших чисел. Так, в одном из памятников египетской письменности (в 175 главе так называемой «Книги мертвых») покойник спрашивает бога. Атума, каково «мое время» жизни, н; что Атум отвечает: «Ты — до миллиона миллионов лет времени жизни миллионов лет». Это число, правда, неопределенно, но, во всяком случае, не менее 1018. Затем, в тексте одной гробницы «креца бога Аи (XIY в. до н. эры) находим тоже стремление к выражению бесконечности. Соответствующая часть 58-
текста гласит: «Да наградит тебя он (бог) юбилеями, как «число песку» берега моря, измеряемого жезлом идет, как мера моря, определяемая джауэтом, или вес горы, извешенной на весах, или перья птиц, или листья деревьев»... Здесь определенно звучит мотив бесконечности, не допускается мысль, что фактически можно, например, сосчитать «число песку берега моря».
Если от Ближнего Востока мы перейдем в Азию, то у индусов, необычайно искусных в науке чисел, мы встретимся с разработанными системами нумерации. Будда, согласно преданию, будучи мальчиком, подвергается испытанию в знании чисел: он постепенно называет единицы всех разрядов от низших к высшим до тех чисел, которыми можно считать всё, начиная от зерен в поле и до самой мелкой песчинки. Потом он переходит к «катхе» — счету звезд ночных, «кати-катхе» — счету морских капель, далее к счету песчинок Ганга и к счету, единицами которого изображается весь песок десятка лакх (лакха — 100 000) рек — таких, как Ганг. В «Рамаяна» рассказывается, что в армии Сугрива участвовали в сражении десять тысяч секстиллионов (10аз) обезьян! Такого количества не могла бы вместить вся наша планетная система, если бы она была битком набита обезьянами. В Ш в. до н. эры, т. е. как раз, когда жил Архимед, написана одна из священных книг буд59 дистов «Lalitavistara», где приводится следующая система мер протяжения: Первоначальный атом 1 малая пылинка 1 средняя 1 поднятая ветром 1 пылинка зайца 1 пылинка барана 1 пылинка быка 1 зерно маковое 1 зерно горчичное 1 зерно ячменное 1 сустав пальца 1 пядень 1 локоть
1 дуга; 1 крока
1 иоджана J, 7 атомов, 7 малых атомов, 7 средних атомов, 7 поднятых ветром, 7 пылинок зайца, 7 пылинок барана, 7 пылинок быка, 7 зерен мака, 7 зерен горчичных, 7 зерен ячменя, 12 суставов, 4 пяди, 4 локтя,
Ю0О дуг, 4 крока.
Дальше фигурируют периоды в сто тысяч миллионов «kalpas», где «kalpa» промежуток времени в 4 320 000 000 лет. Вбпке, о котором мы уже раз упоминали, полагает, что Архимед мог быть знаком с этой книгой. Это, конечно, вопрос, наукой еще не разрешенный, но весьма возможно, что он мог знать о подобных вычислениях индусов, хотя бы из рассказов путешественников, так как в это время с Индией, несомненно, существовали сношения, которые способствовали взаимной ассимиляции элементов культуры. Но если даже допустить знаком- — ство Архимеда с фантастическими цифрами индусов, все же это нисколько не умаляет научных достоинств 60 системы, разработанной Архимедом. И здесь мы видим печать оригинальности и глубокой продуманности, присущих вообще всем его произведениям. Так как дальше мы приводим полный перевод трактата, мы не станем здесь передавать его содержания1, ограничившись только указаниями, которые помогут уяснить ьсущность архимедовой классификации чисел. Греки считали задолго до Архимеда по десятич,- ной системе и пользовались следующими наименованиями единиц различных разрядов: единицы (монады) jJiovaSei; десятки (декады) 8еха8з<; сотни (гекатонтады) гхатоотаЗе? тысячи (хилиады) ^tXiaSeq десятки тысяч (мириады) jiopio'Ss? десятки мириад Ssxoc |юрих8г<; сотни мириад exatov [wpiaSs? тысячи мириад [xoptaSe? I - " ,
Желая показать, что есть полная возможность * * •
выражать числа, значительно превосходящие то, которым определяется число песчинок в пространстве, равном шару неподвижных звезд, Архимед кладет в основу своей системы общеупотребительную единицу высшего разряда— мириаду (Ю4). Тогда мириада мириад, или 108, замыкает собой все числа от единицы, и им присваивается название чисел «первых». Сама мириада мириад считается единицей чисел «вторых» — «октадой». От этой 1 Подробности приведены в комментариях. 61 единицы счет ведется опять до мириады мириад их, т. е. от 108 до 1016. Мириада мириад «вторых» чисел есть единица «третьих», и снова счет идет от 1016 до 1024. Архимед доводит эту классификацию до октады чисел октадных, замыкающей «первый , период». Это число равно 10410, или единице с восемью стами миллионов нулей. Оно называется единицей «второго периода». Октада первых чисел этого периода (108,1® +8) будет единицей «вторых» чисел «второго» периода. Дальше он вводит единицы чисел «третьего периода» (102'8Л°8), «четвертого g периода» (103‘810 ) и далее до октады чисел октадных периода октадного (lO10'8'10*). Это последнее число есть единица, которую сопровождает восемьдесят тысяч биллионов нулей. Чтобы понять всю огромность этого числа, заметим, что, чтобы написать это число полностью, помещая по 400 цифр (нулей) на бумажной полоске длиной в один метр, понадобится лента такой длины, что ею можно опоясать земной экватор 4970 раз. " л
Е сли ехать со скоростью тысячи километров в сутки, то расстояние, равное длине этой ленты, можно проехать в 545 лет! Число песчинок, заполняющих пространство, равное шару неподвижных звезд, в сравнении с этим числом совершенно ничтожно, так как, по вычислениям Архимеда, оно оказывается меньше тысячи мириад чисел «восьмых», т. е. 103 * 10\* (108)7 = 1063. 62 _ . * t
В своем «Псаммите» Архимед, таким образом, доказал, что числовой ряд бесконечен. Архимедовы числа были своего рода «трансфинитными» числами древности. Мысль о бесконечно малом неизбежно сосуществует с мыслью о бесконечно большом: это прекрасно понимал Архимед, постоянно ведя исследование бесконечных процессов. Недаром творец диференциального исчисле- \ ния Лейбниц сказал, что, «внимательно читая сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новейим открытиям геометров». Плутарх, как известно, не бывший математиком, тем не менее, говорит: «Во всей геометрии нет теорем более трудных и глубоких, чем теоремы Архимеда, и, несмотря на это, они доказаны очень просто и весьма ясно. По моему мнению, невозможно найти доказательства какого бы то ни было из предложений Архимеда; но, прочитавши доказа” тельство, данное им, нам кажется, что мы сами дали бы это доказательство — так оно просто и легко!» Действительно, нам, привыкшим к костылям О современной символики, к целому комплексу условных знаков, которые как бы сами за нас думают, чтение трудов Архимеда не легко, но его современники, воспитанные на строгих эвклидовских рас- • * суждениях, не избалованные алгебраической символикой и приобретавшие постепенно навык удерживать в памяти длинную цепь умозаключений, несомненно, должны были читать Архимеда с удовольствием. Его идеи и методы были новы, оригинальны и 63 чрезвычайно плодотворны: в областях, им разработанных, он не имел предшественников, а когда погиб, не нашлось сколько-нибудь достойных преемников, способных пополнить драгоценное наследие и углубить путь, намеченный великим геометром. Архимеду приписывают изобретение множества остроумнейших машин и приборов, но сам он не придавал им никакого значения: это был представитель «чистой науки», глубочайший теоретик в полном смысле этого слова. Один из величайших математиков, Лагранж, и известный астроном Деламбер в своем отчете, представленном Французской академии наук, о переводе сочинений Архимеда Пейраром выразились так: «За Архимедом сохранилась репутация одного из самых удивительных гениев, которые когда-либо посвящали себя математике. Ни один из геометров древности не сделал таких многочисленных и важных открытий. Несмотря на преимущества новых методов, сознаваемых всеми геометрами, всякий математик должен поинтересоваться, какими тонкими и глубокими размышлениями Архимед мог достичь таких сложных результатов». И мы с своей стороны советуем всем истинным любителям математики читать Архимеда: это — великий учитель, у которого можно научиться многому Изтегляне 18.02 Kb. Сподели с приятели:
|