Определяне на главната константа в сложни положения

ВЪВЕДЕНИЕ В ЛОГИКАТА

Учебник за 9 клас

София, 1994 г. ИК "СВЯТ-НАУКА"

Свързването на прости мисли в сложни е нещо обикновено за човешкото мислене. Съчетаването на елементарните "атоми" на мисълта в "мисловни молекули" прилича на прибавянето на тухла към тухла при строежа на дом. Но ние едва ли можем да преценим какви са логическите черти на мисленето, ако разполагаме само със съчетания, получени от прости мисли посредством логическите връзки. Както в строителството се използват не само прости тухли, а и тухли - тройки или четворки, така и в мисленето сложните мисли се обединяват в още по-сложни. Така се стига до разсъждение, което обикновено завършва със "следователно". Ние се питаме дали тази дума е поставена на място, т.е. дали онова, което претендира да е следствие, действително е такова. Ще видим, че това зависи не от материалите, с които се строи, а от подредеността, от връзките между тях. Те не са променени, а остават същите. Сложните мисли се обединяват в още по-сложни пак посредством познатите ни вече конюнкция, дизюнкция, импликация, еквивалентност, отрицание. Те подреждат всякакви по сложност мисли, а подредеността вече е разсъждение. Според едно предание Платон приел в своята академия Аристотел след като видял, че той редил камъните на зида по-иначе, в сравнение с останалите зидари...

Нека тръгнем от разсъждението, което още не е умозаключение:

"Ти и аз ще свършим тази работа или сме загубени"

Съставките на сложната мисъл са: "Ти свършваш тази работа" и "аз свършвам тази работа", "загубени сме". Знаем, че най-напред трябва да се абстрахираме от всичко конкретно, свързано със съставките, като ги заменим с променливи. Като сторим това, ще получим:

А сега да се издигнем на по-високото равнище на обобщение като заменим "и" и "или" с познатите ни знаци за конюнкция и дизюнкция:

Как да четем това сложно положение, в което с променливи и знаци между тях сме изразили сложната мисъл, от която тръгнахме? Знаците са два и следователно има две възможности: да го разглеждаме като конюнкция, в която първият фактор е _, а вторият е дизюнкцията между _ и _. Втората възможност е да го схванем като дизюнкция, първият аргумент на която е конюнкцията на _ и _, а вторият аргумент представлява _. С други думи, трябва да се питаме: кой знак е по-важен?

Определянето на главния знак е нещо познато още от първо отделение, когато сме изучавали елементарна аритметика, в която се използват аритметически знаци. Всеки знае, че равенството е главен знак в елементарното аритметическо положение:

В него знакът за изваждане вдясно и знакът за умножение вляво имат второстепенно значение. Най-напред трябва да извършим тези аритметически действия, а след това да видим дали между тях е в сила равенството.

Но кой знак да предпочетем в случая, който имаме.

Съвсем не е едно и също какво ще решим В тази символна форма ние не знаем каква е стойността по истинност на променливите _. Това, което знаем е, че всяка от тях е истинна или не е неистинна. Променливите са три и следователно възможните съчетания по истинност между тях са 2³ = 8 (две стойности, повдигнати на степен равна на броя на променливите). Не е необходимо да проследяваме всички осем съчетания по истинност, за да видим до какъв краен резултат ще стигнем, ако приемем отначало конюнкцията като главен знак, а след това проверим дали ще стигнем до същия краен резултат за стойността на израза, ако приемем, че знакът дизюнкция играе такава роля.





Н		И		И











Това значи, че ще предпочетем дизюнкцията пред конюнкцията; ще предпочетем импликацията пред дизюнкцията или конюнкцията; ще предпочетем еквивалентността пред всички останали. Движението от знака конюнкция, през знак за дизюнкция и импликация към еквивалентност е движение към константа с по-голям обхват. Обратната посока е движение към по-голяма свързваща сила, т.е. конюнкцията свързва по-силно от дизюнкцията, а тя на свой ред свързва по-силно от импликацията и еквивалентността. Някои съвременни автори предлагат определянето на главната константа да завърши с поставяне на стрелка над нея, която я посочва. Това е удобно, тъй като винаги ще я имаме пред очите си и няма да я сбъркаме с някоя от останалите константи. Изразът, който разглеждаме, ще бъде записан така:

Сега вече няма съмнение коя е главната константа.

Определянето на главната константа ни показва какъв израз имаме пред себе си. С това е определен и редът, в който трябва да разглеждаме мислите. В случая трябва да определим най-напред стойността на конюнкцията, а след това получената стойност ще бъде съпоставена със стойността на С, за да намерим стойността на дизюнкцията, изградена от тях.

Ако по условие приемем, че _ и _ са истинни, а_ е неистинно, ще получим:

И		И		Н
	И
	1
			И
			2

Най-напред намираме стойността на конюнкцията. Тя е истинна, тъй като са истинни факторите й. След това съпоставяме получената стойност със стойността на _и намираме, че дизюнкцията е истинна, тъй като левият й аргумент е истинен (1). Накрая записваме този резултат под главната константа (2).

При същите условия изразът:

в който роля на главна константа играе втората импликация, ще бъде разгледан в следния ред: поставяме стрелката над главната константа; записваме под променливите дадените по условие стойности; след това постепенно определяме стойността на главната константа, която е стойност на целия израз.

И		Н		Н
	Н
	1
			И
			2

Изразът е импликация, която има за антецедент импликация. Консеквент на израза е отрицанието на B. По условие B е истинно и затова ще поставим под отрицанието му (В) стойност неистина. Намираме стойността на антецедента (A -> C) и след това съпоставяме получената стойност със стойността на консеквента (В). Установяваме, че стойността на израза, при тези условия е истина.

Ако този израз се отрича, т.е.

тъй като не можем да поставим стойности под линията на отрицанието, която го покрива открай докрай, ще изведем отрицанието пред израза чрез тилда (~), а изразът ще бъде заграден със средни скоби:

Н
3

Отрицанието на израза автоматично води до преместване на главната константа върху него Кое е това, което се отрича? То е заградено в средните скоби и е импликация. По-горе намерихме в (2), че стойността му е истина. Сега трябва да продължим като направим още една стъпка и запишем под тилдата, която е новата главна константа, стойност неистина (3).