Т е м а за националния кръг на олимпиадата по астрономия Практически тур 8 май 2016 г. Възрастова група XI-XII клас решения 1 задача

Планетата COROT 7b е открита с космическия телескоп COROT, изстрелян съвместно от френската космическа агенция (CNES) и Европейската космическа агенция (ESA). На Фиг. 1. е дадена кривата на блясъка на звездата по време на пасаж (преминаване) на планетата пред диска на звездата. Можем да считаме, че зрителният лъч лежи точно в орбиталната равнина на планетата. По ординатната ос е нанесен относителен светлинният поток, а не звездна величина. Той се приема за равен на 1.0000 извън времето на пасажа на планетата.

• 
  А) Постройте крива на лъчевата скорост на звездата COROT-7. Определете скоростта, с която тя се движи около общия център на масите с планетата.
  
• 
  Б) Определете отношението на радиусите на планетата и звездата, след което намерете радиуса на COROT-7b.
  
• 
  В) Пресметнете масата на планетата, а след това и нейната плътност. Към кой клас планети бихме могли да считаме, че тя прнадлежи?
  
• 
  Г) Коментирайте точността на получените от Вас резултати и факторите, които влияят върху нея.
  

Постояваме графика на изменението на лъчевата скорост.

Средната лъчева скорост, отчетена от графиката, е равна на Vср = 31.17 km/s. Това е скоростта, с която се движи центърът на масите на планетната система, по направление на зрителния лъч, относно Слънцето. Амплитудата на кривата на лъчевите скорости, получена от графиката, е V = 5.7 km/s. Това е и орбиталната скорост на звездата около центъра на масите.

По рязкото спадане и издигане на блясъка на звездата в началото и края на пасажа съдим за това, че радиусът на планетата е много по-малък от радиуса на звездата. Затова за нашите оценки може да приемем, че планетата е точков обект. За времето на пасажа планетата изминава дъгата АВ, обозначена на фиг.1.:

Дъгата се вижда от центъра на звездата под ъгъл a. От схемата следва, че:

където R е радиусът на звездата, а r е радиусът на орбитата на планетата.

От кривата на лъчевите скорости намираме моментите, в които лъчевата скорост е максимални и минимална: t_max = 0^d.2 , t_min = 0^d.64 . Те съответстват на моментите, в които звездата се движи по направлението на лъча на зрение – по посока от нас и към нас, съответно. В случая на кръгова орбита двата момента се намират точно на половин период отстояние един от друг. Следователно периодът на планетата е приблизително T = 0^d.88. Времето, за което планетата изминава дъгата АВ, отнесено към периода на звездата, е равно на отношението на ъгъл a към 360°.

От двете формули изразяваме r:

Тук t e времето за изминаване на дъгата АВ. Това време е равно на продължителността на пасажа. От кривата на блясъка на звездата намираме тази продължителност и тя е приблизително равна на t » 80 min. Радиуса на звездата намираме от таблицата с астрофизичните характиристики на звезди от различни спектрални класове. Радиусът, съответстващ на спектралния клас и температурата на звездата, е R = 0.82R_Sol. Радиусът на Слънцето е 700 000 km . Пресмятаме и получаваме R = 574000 km.

Пресмятаме радиуса на орбитата по горната формула и получаваме:

r » 2.9∙10⁶ km.

Орбитата е кръгова, затова може да намерим орбиталната скорост на планетата:

km/s

Пак от таблицата с астрофизичните характеристики на звездите намираме, че масата на звездата трябва да е M=0.9M_Sol. От закона за запазване на импулса, на системата звезда –планета, следва:

Пресмятаме масата на планетата:

Намаляването на потока се дължи на това, че дискът на планетата засенчва част от диска на звездата. Отношението на потоците е равно на отношението на площта на диска на звездата минус площта засенчена от планетата, и площта на диска на звездата, когато е незасенчена от планетата.

където и са потокът от звездата и потокът от засенчената част на звездата. Оттук намираме радиуса на планетата: R_Pl » 0.0187∙R_* » 10700 km.

Малкият размер на планетата, сравним с размерите на Земята, позволява да отнесем планетата към т.нар. планети “суперземи”, а малкото разстояние до звездата ни позволява да я наричаме “гореща суперземя”.

Плътността на планетата е:

Това е много голяма плътност, 1.5 пъти по-голяма от средната плътност на Земята. Може да очакваме COROT-7b да съдържа голямо количество тежки елементи, примерно желязо и никел. В нашата слънчева система Меркурий има голямо желязно ядро, но плътността му е съществено по-ниска от плътността на COROT-7b.

Относно точността на нашите пресмятания може да се каже, че върху тях влияят следните фактори:

• 
  Точността, с която измерваме понижаването на блясъка по време на пасажа, както и продължителността на пасажа;
  
• 
  Точността, с която измерваме ампплитудата на получената от нас крива на лъчевите скорости, както и периода на планетата. Точките на графиката не лежат на една идеална крива, поради което от там може да се появи някакво отклонение.
  

• 
  А) Отбележете на чертежа положенията на планетата при пролетно и есенно равноденствие, лятно и зимно слънцестояние за жител на северното полукълбо. Опишете накратко нейните сезони.
  
• 
  Б) Определете приблизително продължителността на периодите между тези четири момента в дни. Пресметнете височината на звездата над хоризонта по пладне за наблюдател на екватора на планетата при равноденствията и слънцестоянията. Нарисувайте схематично графика на изменението на тази височина през годината.
  
• 
  В) Пресметнете кога за наблюдател на екватора по пладне ще бъде по-топло – при равноденствията или при лятното слънцестояние.
  

Щом моментът на лятното слънцестояние съвпада с момента на преминаване на планетата през перихелия, то с точките 2 и 4 са отбелязани положенията на планетата съответно при лятно и зимно слънцестояние за нейното северно полукълбо. При нас, на Земята, сезоните се определят преди всичко от наклона на оста на нашата планета. Ексцентрицитетът на земната орбита е много малък и изменението на разстоянието Земя – Слънце в течение на годината много слабо влияе на сезоните. При разглежданата планета обаче, ситуацията е друга. Тя има значителен ексцентрицитет на орбитата си. Сезоните ще настъпват едновременно и в северното, и в южното полукълбо на планетата. Те няма да са противоположни, както при Земята, защото ще се определят не от наклона на оста, а от силно променящото се разстояние до звездата. Наклонът на оста ще внася само допълнително влияние. За северното полукълбо на планетата ще има много топло, може би горещо лято и много студена зима. За южното полукълбо контрастът между лято и зима ще бъде донякъде смекчен.

През точката S, в която се намира слънцето на тази далечна планета, прекарваме права перпендикулярна на голямата ос на елиптичната орбита на планетата. Тя пресича орбитата в точките 1 и 3. Това са положенията, в които за северното полукълбо на планетата е съответно пролетно и в есенно равноденствие. Тогава ориентацията на нейната ос спрямо слънцето е такава, че терминаторът на планетата ще минава през нейните полюси.

За да определим продължителността на сезоните на планетата ще използваме втория закон на Кеплер, сроред който за равни времена радиус-векторът на планетата описва равни площи от нейната елиптична орбита. За приблизително определяне на площите ще използваме квадратната мрежа и ще изразяваме тези площи в единици, ровняващи се на площта на едно квадратче. Можем да оценим площта на цялата елипса като приблизително равна на S = ab  170 квадратчета.

Пролетта в северното полукълбо на планетата започва, когато тя е в положение 1, и завършва, когато планетата е в положение 2. Площта на фигурата S12 e около 6 квадратчета. Също такава е и площта на фигурата S23, която съответства на продължителността на лятото. Орбиталният период на планетата е 400 дни. Като знаем това, можем да определим продължителността на пролетта:

T12 = 400  6 / 170  14.1 дни

Също толкова продължава и лятото. За есента можем да пресметнем:

400 / 2 – 14.1 = 185.9 дни

Толкова ще продължава и зимата.

За наблюдател на екватора по пладне височината на слънцето над хоризонта ще бъде 90 при двете равноденствия. За да получим височината на слънцето по пладне при слънцестоянията, трябва от 90 да извадим наклона на оста на планетата, който е 30. Следователно височината на Слънцето ще бъде 60. При лятното слънцестояние то ще кулминира на север, а при зимното – на юг от небесния екватор.

На графиката е показано как ще се изменя височината на Слънцето по пладне през годината. С 1, 2 , 3 и 4 са означени същите моменти, както и на елиптичната орбита на планетата.

За да определим кога ще бъде по-топло за наблюдател на екватора на планетата – дали в равноденствие или в лятно слънцестояние, трябва да сравним влиянето на два фактора – разстоянието от планетата до слънцето и ъгъла на падане на слънчевите лъчи. На фигурата с орбитата на планетата измерваме разстоянията от планетата до слънцето в двата случая. Количеството лъчиста енергия, което се получава от слънцето, е обратно пропорционално на квадрата на разстоянието. Намираме квадрата на отношението на двете разстояния и то е 1.89. В перихелия осветеността, създавана от сълнцето върху планетата, ще бъде 1.89 пъти по-висока, отколкото в точките на равноденствие.

Осветеността е пропорционална на косинуса от ъгъла на падане на светлинните лъчи, или синуса от височината на Слънцето над хоризонта. За отношението на осветеностите при равноденствие и при лятно слънцестояние пресмятаме:

sin 90 / sin 60  1.15

Следователно влиянието на разстоянието е по-силно в този случай и на екватора по пладне ще бъде по-топло при лятното слънцестояние, отколкото при равноденствията.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За отбелязваве на точките на слънцестояния и равноденствия – 1 т.

За описание на климата на планетата – 1 т.

За правилен подход при определяне на продължителността на сезоните – 2 т.

За правилни числени резултати – 1 т.

За определяне на височината на Слънцето в характерните моменти, графично представяне на изменението на височината на Слънцето и обяснение – 3 т.

За правилен метод на определяне кога ще бъде по-топло за наблюдател на екватора и числен резултат – 4 т.

Орбита на Ветровитата планета около звездата S