Вероятност мярка за случайност

1. 
   Вероятност - мярка за случайност
   

Дълго време "математиката на случайността" намирала приложение само при решаването на задачи, свързани с хазартни игри. Нещата отдавна са променени-днес теорията на вероятностите според израза на един съвременен американски математик е " крайният камък на всички науки".

Елементарна представа за “вероятност” има всеки здравомислещ човек: непрекъснато се наблюдават случайни събития и трябда да се преценят кои от тях са повече или по-малко вероятни, сигурни или невъзможни.
Деф.: Вероятността на едно събитие е равна на броя на благоприятните изходи за неговото настъпване, разделен на общия брой изходи или, т.е. верятността на събитието е .
Нека означаваме с вероятността на събитието .

Да пресметнем някои вероятности.

Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне четно число? Тъй като три от стените на зара са означени с четни числа (2, 4, 6)

Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне 7? Нито една от стените не е означена със 7, затова

Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне число, по-малко от 10, така че

P(по-малко от 10 число)

Очевидно е, че . Събитие , за което се нарича невъзможно, а събитие , за което - сигурно. Ако вероятността на дадено събитие е изразена като дроб, тя не може да надхвърли числото едно (броят на благоприятните изходи е винаги по-малък или равен на общия брой на изходите).

По-общо, нека са несъвместими събития, т.е. никои две от тях не могат да настъпят едновременно. С означаваме събитието, което настъпва точно тогава, когато настъпи поне едно (и значи само едно) от събитията . Тогава

Да разбъркаме една въображаема колода и да изтеглим карта от нея. Каква е вероятността изтеглената карта да е купа? Тай като броят на благоприятните събития (изтегляне на купа) е равен на 13, а начините за изтегляне на карта от колодата са 52, то P(купа)=13/52=1/4, т.е. можем да очакваме една купа измежду всеки четири изтеглени карти.

Да върнем картата обратно в колодата и отново да изтеглим карта. Каква е вероятността втория път да изтеглим пак купа? Тя е същата - 1/4. Следователно
Деф.: Вероятността за настъпване на няколко последователни събития е равна на произведението от вероятностите на отделните събития, т.е. .

В нашия случай вероятността за изтегляне на купа е равна на 1/4, вероятността за изтегляне на две поредни купи е равна на 1/4*1/4=16 (втората карта се изтегля, след като първата е върната обратно в колодата). Видът на първата изтеглена карта не се отразява върху изхода от второто теглене, тъй като тя се връща и се размества с останалите карти. Тези две събития не си оказват влияние и както по-горе отбелязахме в Деф. те са несъвместими (независими). А, ако изтеглим две карти една след друга, без да връщаме първата обратно в колодата, то изходът от първото теглене (купа или не) оказва влияние върху изхода от второто и по-точно върху вероятността втората изтеглена карта също да е купа. В този случай едното събитие оказва влияние върху другото и следователно те са съвместими (зависими).

Вероятността първата карта да е купа е пак 13/52, но вероятността и втората да е купа малко се променя. Ако първата карта е купа, в колодата от 51 останали карти 12 са купи и вероятността втората карта отново да е купа е вече 12/52. Следователно вероятността за две поредни купи без връщане на първата е равна на 13/52*12/51=1/4*4/17=1/17.

2. 
   Вериги
   

веригата

Всяка верига минава през най-много множества. Верига, която съдържа точно множества се нарича максимална. Ясно е, че за всяко в максимална верига има едно (и само едно) множество с елемента; първият член на всяка максимална верига е едно-елементно множество, а последният е цялото .

През всяко подмножество на минават максимални вериги и даже всяка верига е част от максимални вериги. Съвкупността на максималните вериги, които минават през подмножеството на , означаваме с .
ЗАДАЧА 1: Да се докаже, че

Решение:

При това равенство е очевидно. Нека и да допуснем, че Последният член на всяка максимална верига в е самото , докато за предпослединия имаме различни възможности,т.е. толкова, колкото са -елементните подмножества на . Поради това е валидно равенството От последното равенство и направеното допускане очевидно следва желаното равенство.

По такъв начин достигаме до извода, че равенството е изпълнено за всяко . За краткост произведението се означава с .
ЗАДАЧА 2: Да се докаже следното равенство , където

Решение:

За да бъде по-общо това равенство, т.е. за да обхваща и , ще се условим, че

Каква е вероятността на събитието ?

Тъй като броят на всички изходи е а на благоприятните е , то вероятността за настъпване на събитието е .

Числото се означава с .

Ще докажем по-нататък, че това число е равно на броя на -елементите подмножества на .

Поради това и тъй като вероятността на всяко събитието не надминава 1, то .

Като вземем предвид равенството , получаваме неравенството

Ще разгледаме равенството в (1). Всъщност равенството в (1) означава, че , т.е. че S е пълна система или с други думи, че всяка максимална верига минава през някое от множествата .

Впрочем, един случай, когато (1) има равенство, е този, когато S се състои от всички -елементите подмножества на за някое. Наистина, в този случай S се състои от несравними множества, така че събитията са несъвместими. Освен това всяка максимална верига има -елементен член, така че всяка максимална верига минава през някое множество от S. От равенството в (1), като вземем предвид, че за всяко I, достигаме до заключението, че . Така доказахме следното твърдение:

Твърдение: При броят на всички -елементите подмножества на е равен на .

С ще означим съвкупността на всички -елементите подмножества на . Ще докажем, че ако е съвкупност от несравними подмножества на , за която в (1) има равенство, тогава за някое.

Нека има максимален брой елементи измежду съвкупностите и този брой означим с . Ще отстраним от произволен елемент , но към полученото -елементно множество ще присъединим кой да е от елементите на извън . Ще докажем, че полученото -елементно множество е също от .

Нека е максимална верига в , която минава през и (такава съществува, понеже ). Тъй като по условие (1) има равенство, то минанава през някое множество от . Ако , тогава , понеже в има единствен -елементен член. В този случай желаното е доказано. Поради това можем да считаме, че . Веригата съдържа -елементно множество и множество с , така че . От друга страна , , което е невъзможно, понеже всеки две множества от са несравними.

Доказахме, че ако някой елемент на заменим с елемент извън , получаваме пак -елементно множество от . Тогава всяко -елементно подмножество на е от , защото може да бъде получено от чрез последователно заместване на елементите на с онези елементи на , които не са от .

Ясно е, че щом съдържа всички -елементни множества, то не може да съдържа други множества, тъй като всяко друго е очевидно сравнимо с -елементно. Така достигаме до желаното .

Доказахме следната

Теорема 1. Нека е съвкупност от подмножества на - елементно множество , които са две по две несравними, т.е. никое от тях не се съдържа в друго. При тези предположения е в сила неравенството



и равенство е налице само тогава, когато , т.е. когато се състои от всички -елементни подмножества на при някое .

Напомняме, че е броят на всички -елементни подможества на , а е броят на елементите на множеството .

Какот се вижда, във формулировката на теоремата не участва никаква "вероятност". Самото доказателство обаче използваше това понятие. Без всякакъв труд вероятностите мога да се изчислят и от доказателството без с това то да бъде усложнено. Но смисълът на използването на вероятностите е следния: ние открихме с тяхна помощ неравенството от теорема 1. А, разбира се, едно нещо е да откриеш и да докажеш някакво твърдение, а съвсем друго е да го докажеш, след като е формулирано от друг. Първото е много по-увлекателно.

4. 
   Обощение на теорема 1.
   

Теорема 2. Нека е съвкупност от различни непразни подмножества на . Ако всяка верига в минава през не повече от множества от , тогава

2. 
   .
   

Равенство в (2) има точно тогава, когато има такива на брой различни естествени числа , че .

В тази теорема за се предполага, че не съдържа вериги . При това означава, че се състои от несравними множества, каквото е предположението за от теорема 1. Следователно при двете теореми съвпадат. Поради това казваме, че теорема 2 е обобщение на теорема 1. Същевременно обаче теорема2 може да се получи като просто следствие от теорема 1.

С ще означим съвкупността на онези множества от , които са край на -верига с членове от , но не са край на такава -верига.

Ако за някое съвкупността не е празна, тя се състои от несравними множества. Наистина, нека , и . Тогава е край на -верига, съставено то множества от и следователно .

При съвкупностите и нямат общо множество. Наистина, всяко множество от е край на -верига, съставена от множества от , и следователно не принадлежи на .

Съвкупността е обединение на съвкупностите . Тъй като по условие няма вериги с члена от , то съвкупностите са празни при . Следователно .

За всяко прилагаме неравенството (1) и след това събираме почленно получените неравенства. Така досигаме до (2). В (2) има равенство точно тогава, когато в неравенствата, които събирахме, има равенство. Според теорема 1 това означава, че . Трябва да имаме при , понеже всички множества от са различни.

Теорема 2 е доказана.