1. Булеви функции. Теорема на Пост-Яблонски за пълнота. Нека J2 = { 0, 1}. Всяка функция f : J2n  J

Доказателство: Ако f (x)  [x], то

В частност, ако f (x)  [x], то (x) = f (x) и от f () = 0 

 f () = () = = = 0  също е корен на f (x).

Ако    и  е корен на f (x), то =  и очевидно и  имат една и съща кратност. Нека   \, т.е.  . Имаме (x - , x -) = 1,

x - |f (x), x -|f (x)  (x - ).(x -)|f (x).

Нека  (x) = (x - ).(x -), т.е.  (x) = x² – (+ ).x + .  [x].

Нека k е най-голямото естествено число, такова че ( (x))^k|f (x),

k  1, f (x) = ( (x))^k.g (x), g (x)  [x].

Ако g () = 0  g () = 0   (x) = (x - ).(x +) | g (x) 

( (x))^k+1|f (x), което е противоречие с избора на k  g ()  0. Аналогично g ()  0. Тогава x -  | g (x), x - | g (x)   иса корени на f (x) с една и съща кратност k.

От горното твърдение получаваме, че всеки полином f (x)  [x] се записва еднозначно във вида:

f (x) = a₀.(x - ₁)^k1. ….(x - _t)^kt.(x² + p₁.x + q₁)^l1. ….(x² + p_s.x + q_s)^ls, където a₀  * е старшият коефициент на f (x), _i  , p_j, q_j  ,

p_j² – 4.q_j < 0, t, s  , k_i, l_j  , k_i  1, l_j  1.

И така неразложими полиноми над  полиноми с коефициенти от  са полиномите от степен 1 и полиномите от степен 2 с отрицателна дискриминанта.

Казваме, че f (x) има локален максимум в точката x₀, ако съществува околност U  M на x₀, такава че

f (x₀)  f (x) за всяко x  U.

Нека f (x) е дефинирана в околност M на точката x₀  .

Казваме, че f (x) има локален минимум в точката x₀, ако съществува околност U  M на x₀, такава че

f (x₀)  f (x) за всяко x  U.

Доказателство: Нека за определеност f (x₀) е локален

максимум за f (x) (разсъждението за локален минимум е абсолютно аналогично). Съществува околност U на x₀, в която f (x) е дефинирана и f (x)  f (x₀) за всяко x  U.

Разглеждаме диференчното частно .

Нека h  0 с положителни стойности, така че x₀ + h остава в U.

Тогава f (x₀ + h) – f (x₀)  0, h > 0   0  след граничен преход f (x₀)  0.

Нека h  0 с отрицателни стойности, така че x₀ + h остава в U.

Тогава f (x₀ + h) – f (x₀)  0, h < 0   0  след граничен преход f (x₀)  0.

От двете неравенства получаваме f (x₀) = 0.
Теорема (Вайерщрас): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в крайния затворен интервал [a, b]. Тогава тя притежава най-голяма и най-малка стойност сред стойностите си за x  [a, b].
Теорема (Рол): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в крайния затворен интервал [a, b]. Освен това, нека f (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b) и f (a) = f (b). В такъв случай, съществува поне една точка   (a, b), за която f () = 0.

Доказателство: Функцията f (x) е непрекъсната в [a, b]  от теоремата на Вайерщрас f (x) притежава най-големи и

най-малки стойности в [a, b]. Нека m = f (x₁) е най-малката стойност на f (x), x₁  [a, b] и М = f (x₂) е най-голямата

стойност на f (x), x₂  [a, b].

Ако m = М, от m  f (x)  М за x  [a, b]  f (x) е константа в [a, b] 

f (x) = 0 за всяко x  (a, b) и теоремата е доказана.

Нека m < M. Поне една от двете точки x₁ и x₂ е вътрешна за интервала [a, b] – в противен случай ще получим, че

m = M = f (a) = f (b). Ако x₁  (a, b), тогава x₁ е локален екстремум  f (x₁) = 0 по теоремата на Ферма. Ако x₁ = a или

x₁ = b, тогава x₂  (a, b) е локален екстремум и f (x₂) = 0 по теоремата на Ферма.
Теорема (Лагранж): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в крайния затворен интервал [a, b] и диференцируема в отворения интервал (a, b). Тогава съществува   (a, b), такова че

f (b) – f (a) = f ().(b – a).

Доказателство:

Да отбележим, че при f (a) = f (b) получаваме теоремата на Рол, която е частен случай на теоремата на Лагранж.

Разглеждаме функцията g (x) = f (x) – k.x, където

k = . В такъв случай, g (a) = g (b). Действително,

g (a) = g (b)  f (a) – k.a = f (b) – k.b  f (b) – f (a) = k.(b – a), което е изпълнено. Освен това, g (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и g (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b). Налице са условията в теоремата на Рол  съществува   (a, b), такова че g () = 0. Но g (x) = f (x) – k, така че 0 = g () = f () – k = f () –  f (b) – f (a) = f ().(b – a).
Следствие: Нека функцията f (x) е дефинирана и диференцируема в интервал . Aко f (x) = 0 за всяко x    f (x) е константа в .

Доказателство: Фиксираме две точки x₁ < x₂  . В затворения интервал [x₁, x₂] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж  съществува точка   (x₁, x₂), такава че

f (x₂) – f (x₁) = f ().(x₂ – x₁), но f () = 0 за всяко     f (x₁) = f (x₂). Точките x₁ и x₂ са избрани произволно  f (x) е константа в .
Следствие: Нека f (x) е дефинирана и диференцируема в

интервал . Ако f (x)  0 (f (x)  0) за всяко x  , то f (x) е монотонно растяща (намаляваща) в . Ако f (x) > 0 (f (x) < 0) за всяко x  , то f (x) е строго монотонно растяща (намаляваща) в .

Доказателство: Фиксираме две точки x₁ < x₂  . В затворения интервал [x₁, x₂] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж  съществува точка   (x₁, x₂), такава че

f (x₂) – f (x₁) = f ().(x₂ – x₁), но f ()  0 (f ()  0) за всяко    

f (x₁)  f (x₂) (f (x₁)  f (x₂)). Tочките x₁ < x₂ са избрани произволно 

f (x) е монотонно растяща (намаляваща) в .

Ако неравенството е строго, т.е. f () > 0 (f () < 0)  f (x₁) < f (x₂)

(f (x₁) > f (x₂)) и функцията f (x) е строго монотонно растяща (намаляваща).

Доказателство: Тъй като f (x) е ограничена в   съществува

C  ⁺, такова че |f (x)| < C за всяко x  .

Фиксираме две точки x₁ < x₂  . В затворения интервал [x₁, x₂] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж  съществува   (x₁, x₂), такова че f (x₂) – f (x₁) = f ().(x₂ – x₁),

Фиксираме  > 0. Избираме  = /C. Тогава за всеки x, y  , такива че |x – y| <  имаме |f (x) – f (y)| < C.|x – y| < C. /C =  

f (x) е равномерно непрекъсната в .
Теорема (Коши): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и непрекъснати в затворения интервал [a, b] и диференцируеми в отворения интервал (a, b). Нека освен това g (x)  0

за всяко x  (a, b). В такъв случай, съществува

  (a, b), такова че .

Доказателство: Теоремата на Лагранж е частен случай на теоремата на Коши, при нея g (x) = x. Преди всичко, условието е коректно, т.е. g (a)  g (b). Действително, ако допуснем g (a) = g (b), тогава за функцията g (x) ще са изпълнени условията на теоремата на Рол  съществува   (a, b), такова че g () = 0, което е противоречие с условието.

Разглеждаме функцията  (x) = f (x) – k.g (x), където

k = . В такъв случай,  (a) =  (b). Действително,

 (a) =  (b)  f (a) – k.g (a) = f (b) – k.g (b) 

 f (b) – f (a) = k.(g (b) – g (a)), което е изпълнено.

Освен това,  (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и е диференцируема в отворения интервал (a, b). Налице са условията в теоремата на Рол  съществува   (a, b), такова че  () = 0. Но  (x) = f (x) – k.g (x)  0 =  () =

= f () – k.g () = f () – .g ()  .

n+1 пъти диференцируема в околност U на точката x₀, n  .

Tогава за всяка точка x от U и всяко p  , p  0 имаме, че съществува t₀ между x и x₀, такова че

f (x) = f (x₀) + .f (x₀) + .f (x₀) + …+ . f ⁽ⁿ⁾(x₀) + R_n,

където R_n = .

Доказателство: Фиксираме x  U, p  , p  0. Ако x = x₀ въпросното равенство очевидно е изпълнено при t₀ = x = x₀.

Нека за определеност x₀ < x. Разглеждаме функцията:  (t) =

= f (x) – (f (t) + .f (t) + .f (t) + …+ .f ⁽ⁿ⁾(t)) – .(x – t)^p, дефинирана за t  U ( е параметър, който ще уточним).

Ясно е, че  (x) = f (x) – f (x) = 0. Избираме  така, че  (x₀) = 0, т.е.

f (x) – (f (x₀) + .f (x₀) + .f (x₀) + …+ .f ⁽ⁿ⁾(x₀)) –

– .(x – x₀)^p = 0 

 = .

Тъй като f е n+1 пъти диференцируема в U, то  е диференцируема в U. Непосредствено пресмятаме,

 (t) = – (f (t) + (-1). f (t) + .f (t) + (-1)..f (t) + .f (t) + …+ (-1)..f ⁽ⁿ⁾(t) + .f ⁽ⁿ⁺¹⁾(t)) – (-1)..p.(x – t)^p-1 =

= .p.(x – t)^p-1 – .f ⁽ⁿ⁺¹⁾(t). Функцията  (t) е диференцируема,

а следователно и непрекъсната в интервала [x₀, x]. Сега за нея можем да приложим теоремата на Рол в интервала [x₀, x]  съществува t₀  (x₀, x), такова че  (t₀) = 0, т.е.

.p.(x – t₀)^p-1 – .f ⁽ⁿ⁺¹⁾(t₀) = 0  .(x – x₀)^p = R_n и

от горния вид на  получаваме окончателно

f (x) = f (x₀) + .f (x₀) + .f (x₀) + …+ . f ⁽ⁿ⁾(x₀) + R_n.

R_n се нарича остатъчен член във формулата на Тейлър.

При p = n+1 получаваме форма на Лагранж за остатъчния член и тя е : R_n = .

При p = 1 получаваме форма на Коши за остатъчния член и

тя е: R_n =.

21. Определен интеграл. Дефиниция и свойства. Интегруемост на непрекъснатите функции. Теорема на Нютон-Лайбниц.

Фиксиране е функцията f : [a, b]  .

Под разбиване на интервала [a, b] разбираме редица от точки

x₀ = a, x₁, x₂, …, x_n = b, такива че x₀ < x₁ < x₂ … < x_n. Под диаметър

на разбиването разбираме числото d ({ x_i}) = , т.е.

дължината на най-големия подинтервал, определен от разбиването.

Сумата  ({ x_i}, { t_i }) = , където { x_i} е някакво

разбиване на интервала [a, b], а t_i са междинни точки,

t_i  [x_i-1, x_i] за i = 1, 2, …, n, се нарича Риманова интегрална сума на функцията f, определена от разбиването { x_i} и междинните точки { t_i}.

Геометрично е ясно е, че Римановата интегрална сума представлява сума от лица на правоъгълници, която апроксимира лицето на криволинейния трапец, определен от графиката на f.

Казваме, че функцията f е интегруема в Риманов смисъл в интервала [a, b], ако съществува число I, такова че Римановите интегрални суми клонят равномерно към I, при условие, че диаметърът на използваните разбивания клони към 0, т.е. за всяко  > 0, съществува  > 0, такова че за всяко разбиване { x_i} с d ({ x_i}) <  и всеки избор на междинните точки t_i, | ({ x_i}, { t_i}) – I| < .

Ако f е интегруема в Риманов смисъл, лесно се вижда (както единствеността на границата на една сходяща редица), че числото I е еднозначно определено и то се нарича Риманов (определен) интеграл на f от а до b и се означава I = .

[a, b], то f е ограничена в [a, b].

Доказателство: Нека  е произволно положително число,
I = . Образуваме разбиване { x_i} на [a, b], такова че да имаме | ({ x_i}, { t_i}) – I| <  при всеки избор на междинните

точки t_i. За всеки две числа x, y е в сила неравенството

|x – y|  |x| – |y|, което лесно следва от неравенството на триъгълника (|x + y|  |x| + |y| за всеки две числа x, y).

В такъв случай,  > | ({ x_i}, { t_i}) – I| = | – I| =

= |f (t_k).(x_k – x_k-1) + + – I| =

= |f (t_k).(x_k – x_k-1) – (I – –)| 

 |f (t_k).(x_k – x_k-1)| – |I – –| 

|f (t_k)|  .

Сега фиксираме t_i при i  k и оставяме t_k да се мени в [x_k-1, x_k].

Полученото неравенство ни учи, че функцията f е ограничена в подинтервала [x_k-1, x_k], определен от разбиването { x_i}. Тъй като можем да даваме на k стойности 1, 2, …, n заключаваме, че f е ограничена в целия интервал [a, b].

Предполагаме, че е фиксирана функция f : [a, b]  , която е ограничена в целия интервал [a, b].

Нека имаме разбиване { x_i} на интервала [a, b].

Полагаме m_i = , i = 1, 2, …, n.

Полагаме M_i = , i = 1, 2, …, n.

Ще отбележим, че числата m_i и M_i са добре дефинирани, тъй като

f е ограничена в [a, b], а следователно и във всеки подинтервал на [a, b], определен от разбиването { x_i}.

Сумата s ({ x_i}) = наричаме малка сума на

Дарбу на функцията f, определена от разбиването { x_i}.

Сумата s = наричаме голяма сума на

Oчевидна е следната верига от неравенства:

s ({ x_i})   ({ x_i}, t_i)  S ({ x_i}), която следва от m_i  f (t_i)  M_i за всяко

t_i  [x_i-1, x_i], i = 1, 2, …, n.

Геометрично е ясно е, че голямата сума на Дарбу представлява лице на фигура съставена от правоъгълници, която е описана около криволинейния трапец, определен от графиката на f,

а малката сума на Дарбу представлява лице на фигура съставена от правоъгълници, която е вписана в криволинейния трапец, определен от графиката на f.